Алгебраическое уравнение

Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение) — уравнение вида

$P(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0,$

где $P$ — многочлен от переменных $x_1, \ldots, x_n$, которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена $P$ обычно берутся из некоторого поля ${F}$, и тогда уравнение $P(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0$ называется алгебраическим уравнение над полем ${F}$.

Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена $P$.

Например, уравнение

$y^4 + \frac{xy}{2} + y^2z^5 + x^3 - xy^2 + \sqrt{3} x^2 - \sin{1} = 0$

является алгебраическим уравнением седьмой степени от трёх переменных (с тремя неизвестными) над полем вещественных чисел.

Связанные определения

Значения переменных $x_1, \ldots, x_n$, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

Примеры алгебраических уравнений

• Алгебраическое уравнение с одним неизвестым — уравнение вида $a_0x^n + a_1x^{n-1} + \ldots + a_n = 0,$ где $n$ — натуральное число.
• Линейное уравнение
  • от одной переменной: $ax + b = 0, \quad a \ne 0.$
  • от нескольких переменных: $a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n + b = 0.$
• Квадратное уравнение
  • от одной переменной: $ax^2 + bx + c = 0, \quad a \ne 0.$
• Кубическое уравнение
  • от одной переменной: $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, \quad a \ne 0.$
• Уравнение четвёртой степени
  • от одной переменной: $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e = 0, \quad a \neq 0.$
• Уравнение пятой степени
  • от одной переменной: $ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f = 0, \quad a \neq 0.$
• Уравнение шестой степени
  • от одной переменной: $ax^6 + bx^5 + cx^4 + dx^3 + ex^2 + fx + g = 0, \quad a \neq 0.$
• Возвратное уравнение — алгебраические уравнения вида: $a_{n}x^{n} + a_{n - 1}x^{n - 1} + ... +a_{1}x + a_0 = 0,$ коэффициенты которых, стоящие на симметричных относительно середины позициях, равны, то есть если $a_{n - k} = a_k,$, при $k = 0, 1, \ldots, n$.

См. также

• Алгебраическая функция
• Ряд Пюизё

Ссылки

• Algebraic Equation на MathWorld (англ.)

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.