Числовые неравенства

Нера́венство — одно из фундаментальных понятий математики.

Если два вещественных числа a и b соединены знаком неравенства $\neq$ или одним из отношений порядка $a > b$, или $a < b$, или $a \geqslant b$, или же $a \leqslant b$, установленных между числами, то говорят, что задано числовое неравенство.

Неравенства отношений $>$, $<$ называют строгими, неравенства $\geqslant$, $\leqslant$ называют нестрогими.

Неравенства отношений $<$ и $\leqslant$, а также неравенства $>$ и $\geqslant$ называются неравенствами одного знака (одного смысла), неравества $<$ и $>$, а также $>$ и $\leqslant$,< и $\geqslant$, $\leqslant$ и $\geqslant$ называются неравенствами разного смысла (разного знака)

Свойства числовых неравенств

Среди свойств числовых неравенств выделяют следующие:

1. $a > b$, тогда $b < a.$ Верно и обратное.
2. Если $a > b$ и $b > c$, то $a > c.$
3. Если $a > b$, то для любого $c \,\,\, a + c > b + c.$ Верно и обратное.
4. Если $a > b$, то для любого $c > 0 \,\,\, ac > bc.$ Верно и обратное.
5. Если $a > b$, то для любого $c < 0 \,\,\, ac < bc.$ Верно и обратное.
6. Если $a > b$ и $c > d$, то $a + c > b + d.$ (Возможность почленного сложения неравенств одинакового смысла)
7. Если $a > b$ и $c < d$, то $a - c > b - d.$ (Возможность почленного вычитания неравенств разного смысла)
8. Если $a > b, b \geqslant 0$ и $c > d, d \geqslant 0$ , то $ac > bd$ (Возможность почленного умножения неравенств одинакового смысла)
9. Если $a > b, \,\,\, b \geqslant 0$ и $c < d, \,\,\, d > 0$ ,то $a/c > b/d.$ (Возможность почленного деления неравенств разного смысла)
10. Если $a, b \geqslant 0$, то для любого натурального $n$ справедливо $a^n \geqslant b^n.$ (Возможность почленного умножения n одинаковых неравенств неотрицательных чисел)

Литература

• Будак А. Б., Щедрин Б. М. Элементарная математика.

Для улучшения этой статьи желательно?: Проставить интервики в рамках проекта Интервики.