Росток (математика)

У этого термина существуют и другие значения, см. Росток (значения).

Росток объекта на топологическом пространстве выражает локальные свойства объекта. В некотором смысле можно сказать, что это новый объект, который перенимает лишь локальные свойства объекта его породившего (чаще всего в роли таких объектов выступают отображения). Очевидно, что различные функции могут задавать один и тот же росток. В таком случае все локальные свойства (непрерывность, гладкость и т. п.) у таких функций совпадают и достаточно рассматривать свойства не самих функций, а лишь их ростков. Важный момент заключается в том, чтобы ввести понятие локальности, поэтому ростки рассматривают для объектов на топологическом пространстве.

Формальное определение

Пусть задана точка $x$ топологического пространства $X$ и два отображения $f,\;g:X\to Y$ в любое множество $Y$. Тогда говорят, что $f$ и $g$ задают один и тот же росток в $x$, если есть окрестность $U$ точки $x$, такая что ограничение $f$ и $g$ на $U$ совпадают. То есть,

$f|_U=g|_U$

(что означает $\forall x'\in U,\;f(x')=g(x')$).

Аналогично говорят о двух подмножества $S,\;T\subset X$: они определяют один и тот же росток в $x$, если существует окрестность $U$, такая что:

$S\cap U=T\cap U.$

Очевидно, что задание одинаковых ростков в точке $x$ есть отношение эквивалентности(на отображениях или множествах соответственно), и эти классы эквивалентности называются ростками(ростками отображения или ростками множества). Отношение эквивалентности обозначают обычно $f\sim_x g$ или $S\sim_x T$.

Росток данного отображения $f$ в точке $x$ обычно обозначают $[f]_x$. Аналогично, росток, задаваемый множеством $S$, обозначают $[S]_x$.

$[f]_x=\{g:X\to Y\mid g\sim_x f\}.$

Росток, отображающий точку $x\in X$ в точку $y\in Y$ пишут $(X,\;x)\to(Y,\;y)$, таким образом $f$ является целым классом эквивалентности отображений, и под $f$ принято понимать любое репрезентативное отображение. Можно также отметить, что два множества эквивалентны(задают один и тот же росток множеств), если эквивалентны их характеристические функции(относительно ростков отображений):

$S\sim_x T\Longleftrightarrow\mathbf{1}_S\sim_x\mathbf{1}_T.$

Литература

• Мишачев Н.M., Элиашберг Я. М. Введение в h-принцип.

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Проставив сноски, внести более точные указания на источники.