- Конечное поле
-
Конечное поле или поле Галуа — поле, состоящее из конечного числа элементов.
Конечное поле обычно обозначается
или
, где
— число элементов поля.
Простейшим примером конечного поля является
— кольцо вычетов по модулю простого числа p.
Содержание
Свойства
- Характеристика конечного поля является простым числом.
- Число элементов любого конечного поля есть его характеристика в натуральной степени:
.
- Для каждого простого числа
и натурального
существует конечное поле из
элементов, единственное с точностью до изоморфизма. Это поле изоморфно полю разложения многочлена
.
- Мультипликативная группа
конечного поля
является циклической группой порядка
.
- В частности, в конечном поле всегда существует примитивный элемент
, порядок которого равен
, то есть
и
для
.
- Любой ненулевой элемент
является некоторой степенью примитивного элемента:
.
- В частности, в конечном поле всегда существует примитивный элемент
- Поле
содержит в себе в качестве подполя
тогда и только тогда, когда
является делителем
.
Примеры
, где
— простое:
и так далее.
, где
— главный идеал кольца
, порожденный неприводимым многочленом
степени
.
Построение
Построение поля
, где p — простое число, n — натуральное число, начинается с построения его простого подполя
(которое совпадает со всем полем при n=1).
- Простое поле
строится как кольцо
вычетов по модулю
, которое в виду простоты
не имеет делителей нуля и является полем.
- Элементы
— числа
. Операции проводятся как с обычными целыми числами с приведением результата по модулю
.
- Поле
при n>1 строится как факторкольцо
, где
— неприводимый многочлен степени n над полем
. Таким образом, для построения поля из
элементов достаточно отыскать многочлен степени
, неприводимый над полем
.
- Элементами поля
являются все многочлены степени меньшей
с коэффициентами из
. Арифметические операции (сложение и умножение) проводятся по модулю многочлена
, то есть, результат соответствующей операции — это остаток от деления на
с приведением коэффициентов по модулю
.
Пример построения поля GF(9)
Для построения поля
необходимо найти многочлен степени 2, неприводимый над
. Такими многочленами являются:
Возьмём, например,
, тогда искомое поле есть
. Если вместо
взять другой многочлен, то получится новое поле, изоморфное старому.
Таблица сложения в GF(9)
+ 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1 0 1 2 1 2 0 2 0 1 0 1 2 1 2 0 2 0 1 Таблица умножения в GF(9)
× 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 1 0 2 1 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 2 1 0 2 1 Литература
- Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7
- Лидл Р. Нидеррайтер Г. Конечные поля. В 2-х тт. — М.: Мир, 1998.
См. также
Категории:- Абстрактная алгебра
- Теория полей
Wikimedia Foundation. 2010.