- Критерий Эйзенштейна
-
Крите́рий Э́йзенштейна — признак неприводимости многочлена. Несмотря на (традиционное) название, является именно признаком, то есть достаточным условием — но вовсе не необходимым, как можно было бы предположить, исходя из математического оттенка слова "критерий" (см. ниже).
Формулировка
Пусть
- многочлен над факториальным кольцом R (
), и для некоторого неприводимого элемента
выполняются следующие условия:
,
для любого i от 0 до n-1,
.
Тогда многочлен
неприводим над F — полем частных кольца R.
Наиболее часто этот критерий применяется, когда R — кольцо целых чисел
, а F — поле рациональных чисел
.
Доказательство
Предположим обратное:
, где
и
многочлены над F ненулевых степеней. Из леммы Гаусса следует, что их можно рассматривать как многочлены над R. Имеем:
По условию
и R факториально, поэтому либо
либо
, но не то и другое вместе ввиду того, что
. Пусть
и
. Все коэффициенты
не могут делиться на
, так как иначе бы это было бы верно для
. Пусть
— минимальный индекс, для которого
не делится на
. Отсюда следует:
Так как
и
для всех
то
, но это невозможно, так как по условию
и
. Теорема доказана.
Примеры
- Многочлен
неприводим над
, из этого следует невозможность решения задачи об удвоении куба
- Многочлен деления круга
неприводим. В самом деле, если он приводим, то приводим и многочлен
, а так как все его коэффициенты, кроме первого являются биномиальными, то есть делятся на
, так как
, а последний коэффициент
к тому же не делится на
то по критерию Эйзенштейна он неприводим вопреки предположению.
- Многочлен
над
является примером, показывающим, что критерий Эйзенштейна («существует такое p, что ...; тогда многочлен неприводим») является только достаточным, но не необходимым условием. Действительно, единственный простой делитель свободного члена это
, но 4 делится на
— поэтому критерий Эйзенштейна здесь неприменим. С другой стороны, как многочлен 3 степени без рациональных корней, этот многочлен неприводим.
Категории:- Многочлены
- Теория колец
- Теоремы
Wikimedia Foundation. 2010.