Бицентрические координаты

Бицентрические координаты — система координат на плоскости, в которой положение точки задаётся расстояниями от двух фиксированных центров (полюсов).

Бицентрические координаты не следует путать с биполярными и с биангулярными координатами.

Канонические формулы для перевода координат (здесь подразумевается, что полюса имеют координаты $(\pm c;0)$):

$\left \{ \begin{matrix} x=\frac{r_1^2-r_2^2}{4c} \\ y=\pm\frac{1}{4c}\sqrt{16c^2r_1^2-(r_1^2-r_2^2+4c^2)^2} \end{matrix} \right.$

Следующие формулы переводят бицентрические координаты в полярные координаты:

$\left \{ \begin{matrix} r=\sqrt{\frac{r_1^2+r_2^2-2c^2}{2}} \\ \theta=\mathrm{arctg}\left[\sqrt{\frac{8c^2(r_1^2+r_2^2-2c^2)}{r_1^2-r_2^2}-1}\right] \end{matrix} \right.$

где $2c$ — расстояние между полюсами.

В общем случае, если полюса имеют произвольные координаты, формулы перевода преобразуются в:

$\left \{ \begin{matrix} x=\pm\frac{r^2+r_1^2-r_2^2}{2r}\cos\alpha\pm\frac{\sqrt{(r_1+r_2+r)(r_1-r_2-r)(r_2-r_1-r)(r_1+r_2-r)}}{2r}\sin\alpha+x_1 \\ y=\pm\frac{r^2+r_1^2-r_2^2}{2r}\sin\alpha\mp\frac{\sqrt{(r_1+r_2+r)(r_1-r_2-r)(r_2-r_1-r)(r_1+r_2-r)}}{2r}\cos\alpha+y_1 \end{matrix} \right.$.

Где $r$ — расстояние между полюсами,

$r_1$ — расстояние до первого полюса,

$r_2$ — расстояние до второго полюса,

$(x_1; y_1)$ — координаты первого полюса,

$(x_2; y_2)$ — координаты второго полюса,

$\alpha=\operatorname{arctg}\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ — угол наклона прямой, проходящей через координаты $(x_1, y_1); (x_2, y_2)$, относительно оси абсцисс.

Получаемые по данным формулам четыре пары координат следует проверять на выполнение условия:

$\sqrt{(x-x_1)^2-(y-y_1)^2}=r_1$

и

$\sqrt{(x-x_2)^2-(y-y_2)^2}=r_2$

Только две пары координат из четырёх будут удовлетворять этим условиям.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Bipolar Coordinates (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.