Простой многогранник

Простой многогранник — выпуклый $d$-мерный многогранник у которого из любой вершины выходит ровно $d$ рёбер.

Примеры

• Размерность 3
  • Тетраэдр
  • Куб
  • Додекаэдр
  • Призма
• Любой многогранник Коксетера является простым

Свойства

• Многогранник является простым тогда и только тогда, когда его двойственный многогранник симплициальный (англ.).
• Уравнения Дена — Сомервиля для простого многогранника выглядит следующим образом: если $f_k$ — число $k$-мерных граней $n$-мерного многогранника и

  $\sum_k f_k\cdot(t-1)^k=\sum_k h_k\cdot t^k$

то $h_k=h_{n-k}$ для любого $k$.

• Комбинаторный тип простого многогранника полностью определяется графом из его вершин и рёбер.^[1]
• Простые многогранники образуют открытое всюду плотное множество в пространстве многогранников с фиксированным числом граней коразмерности 1, которое стабжено метрикой Хаусдорфа.

Примечания

1. ↑ Kalai, Gil A simple way to tell a simple polytope from its graph. J. Combin. Theory Ser. A 49 (1988), no. 2, 381–383.