Полиномы Белла

В математике, в частности в комбинаторике, полиномы Белла — это полиномы вида

$B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1})=\sum{n! \over j_1!j_2!\cdots j_{n-k+1}!} \left({x_1\over 1!}\right)^{j_1}\left({x_2\over 2!}\right)^{j_2}\cdots\left({x_{n-k+1} \over (n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}},$

где сумма берётся по всем последовательностям j₁, j₂, j₃, ..., j_n−k+1 неотрицательных целых чисел таким, что

$j_1+j_2+\cdots = k$ и $j_1+2j_2+3j_3+\cdots=n.$

Полиномы Белла названы так в честь математика Э. Белла (англ.).

Полные полиномы Белла

Сумма

$B_n(x_1,\dots,x_n)=\sum_{k=1}^n B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1})$

иногда называется n-ым полным полиномом Белла. Для отличия от полных полиномов Белла, полиномы B_n, k, определенные выше, иногда называют «частичными» полиномами Белла.

Полные полиномы Белла удовлетворяют следующим условиям:

$B_n(x_1,\dots,x_n) = \det\begin{bmatrix}x_1 & {n-1 \choose 1} x_2 & {n-1 \choose 2}x_3 & {n-1 \choose 3} x_4 & {n-1 \choose 4} x_5 & \cdots & \cdots & x_n \\ \\ -1 & x_1 & {n-2 \choose 1} x_2 & {n-2 \choose 2} x_3 & {n-2 \choose 3} x_4 & \cdots & \cdots & x_{n-1} \\ \\ 0 & -1 & x_1 & {n-3 \choose 1} x_2 & {n-3 \choose 2} x_3 & \cdots & \cdots & x_{n-2} \\ \\ 0 & 0 & -1 & x_1 & {n-4 \choose 1} x_2 & \cdots & \cdots & x_{n-3} \\ \\ 0 & 0 & 0 & -1 & x_1 & \cdots & \cdots & x_{n-4} \\ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & \cdots & \cdots & x_{n-5} \\ \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & x_1 \end{bmatrix}.$

Комбинаторная интерпретация

Если в разбиении числа n слагаемое 1 появляется j₁ раз, 2 появляется j₂ раза, и т.д., то количество разбиений множества мощности n, в котором мощности частей образуют это разбиение числа n, равно соответствующему коэффициенту полинома Белла.

Примеры

Для n = 6, k = 2 мы имеем

$B_{6,2}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=6x_5x_1+15x_4x_2+10x_3^2$

потому что есть

• 6 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 5 + 1,
• 15 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 4 + 2,
• 10 способов разбить множество мощности 6 на подножества мощностей 3 + 3.

Аналогично,

$B_{6,3}(x_1,x_2,x_3,x_4)=15x_4x_1^2+60x_3x_2x_1+15x_2^3$

потому что есть

15 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 4 + 1 + 1,

60 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 3 + 2 + 1, and

15 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 2 + 2 + 2.

Свойства

• $B_{n,k}(1!,2!,\dots,(n-k+1)!) = \binom{n}{k}\binom{n-1}{k-1} (n-k)!$

Связь с числами Стирлинга и Белла

Значение полинома Белла B_n,k(x₁, x₂, …), где все x_i равны 1 является числом Стирлинга первого рода:

$B_{n,k}(1,1,\dots)=S(n,k)=\left\{{n\atop k}\right\}.$

Сумма

$\sum_{k=1}^n B_{n,k}(1,1,1,\dots) = \sum_{k=1}^n \left\{{n\atop k}\right\}$

есть n-ое число Белла (количество разбиений множества мощности n).

Тождество свертки

Для последовательности x_n, y_n, n = 1, 2, …, определёна свёртка:

$(x \diamondsuit y)_n = \sum_{j=1}^{n-1} {n \choose j} x_j y_{n-j}.$

(Заметим, что пределы суммирования здесь 1 и n − 1, а не 0 и n.)

Положим, что $x_n^{k\diamondsuit}\,$ есть n-ый член последовательности

$\displaystyle\underbrace{x\diamondsuit\cdots\diamondsuit x}_{k\ \mathrm{factors}}.\,$

Тогда

$B_{n,k}(x_1,\dots,x_{n-k+1}) = {x_{n}^{k\diamondsuit} \over k!}.\,$

Для примера вычислим $B_{4,3}(x_1,x_2)$. Так как

$x = ( x_1,\ x_2, \ x_3, \ x_4, \ldots ),$

$x \diamondsuit x = ( 0,\ 2 x_1^2 \ ,\ 6 x_1 x_2 \ , \ 8 x_1 x_3 + 6 x_2^2 \ , \ldots ),$

$x \diamondsuit x \diamondsuit x = ( 0,\ 0, \ 6 x_1^3, \ 36 x_1^2 x_2, \ldots ),$

то

$B_{4,3}(x_1,x_2) = \frac{ ( x \diamondsuit x \diamondsuit x)_4 }{3!} = 6 x_1^2 x_2.$

Применения

Формула Фаа-ди-Бруно

Основная статья: Формула Фаа-ди-Бруно

Формула Фаа-ди-Бруно может быть сформулирована в терминах полиномов Белла следующим образом:

${d^n \over dx^n} f(g(x)) = \sum_{k=0}^n f^{(k)}(g(x)) B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots,g^{(n-k+1)}(x)\right).$

Кроме того, мы можем использовать полиномы Белла, если

$f(x)=\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n!} x^n \qquad$ и $\qquad g(x)=\sum_{n=1}^\infty {b_n \over n!} x^n,$

то

$g(f(x)) = \sum_{n=1}^\infty {\sum_{k=1}^{n} b_k B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) \over n!} x^n.$

В частности, полные полиномы Белла появляются в разложении экспоненты формального степенного ряда

$\exp\left(\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n!} x^n \right) = \sum_{n=0}^\infty {B_n(a_1,\dots,a_n) \over n!} x^n.$

Моменты и кумулянты

Сумма

$B_n(\kappa_1,\dots,\kappa_n)=\sum_{k=1}^n B_{n,k}(\kappa_1,\dots,\kappa_{n-k+1})$

есть n-ый момент распределения вероятностей, первые n кумулянтов которых равны ₁, …, κ_n. Другими словами, n-ый момент равен значению n-ого полного полинома Белла на первых n кумулянтах.

Представление полиномиальных последовательностей биномиального типа

Для заданной последовательности чисел a₁, a₂, a₃, … положим

$p_n(x)=\sum_{k=1}^n B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) x^k.$

Тогда эта последовательность полиномов имеет биномиальный тип, т.е. она удовлетворяет биномиальным условиям

$p_n(x+y)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} p_k(x) p_{n-k}(y)$ для n ≥ 0.

Теорема: Все полиномиальные последовательности биномиального типа представляются в таком виде.

Eсли мы рассмотрим

$h(x)=\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n!} x^n$

как формальный степенной ряд, то для всех n,

$h^{-1}\left( {d \over dx}\right) p_n(x) = n p_{n-1}(x).$

Программное обеспечение

• Полиномы Белла, полные полиномы Белла и обобщенные полиномы Белла реализованы в Mathematica как BellY.

Источники

• Eric Temple Bell (1927–1928). «Partition Polynomials». Annals of Mathematics 29 (1/4): 38–46. DOI:10.2307/1967979.
• Louis Comtet Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions. — Reidel Publishing Company, 1974.
• Steven Roman The Umbral Calculus. — Dover Publications.
• Khristo N. Boyadzhiev (2009). «Exponential Polynomials, Stirling Numbers, and Evaluation of Some Gamma Integrals». Abstract and Applied Analysis 2009: Article ID 168672. DOI:10.1155/2009/168672. (contains also elementary review of the concept Bell-polynomials)
• Silvia Noschese, Paolo E. Ricci (2003). «Differentiation of Multivariable Composite Functions and Bell Polynomials». Journal of Computational Analysis and Applications 5 (3): 333–340. DOI:10.1023/A:1023227705558. '
• Vassily G. Voinov, Mikhail S. Nikulin (1994). «On power series, Bell polynomials, Hardy-Ramanujan-Rademacher problem and its statistical applications». Kybernetika 30 (3): 343–358. ISSN 00235954.
• Kruchinin, V.V., 2011 , Derivation of Bell Polynomials of the Second Kind(ArXiv)
• Конспект лекции по полиномам Белла, примеры