- Быстрота
-
Быстрота́ (англ. rapidity) — в релятивистской кинематике монотонно возрастающая функция скорости, которая стремится к бесконечности, когда скорость стремится к скорости света. В отличие от скорости, для которой закон сложения нетривиален, для быстроты характерен простой закон сложения («быстрота аддитивна»).
Содержание
Определение и свойства
Быстрота выражается формулой:
где
— быстрота,
— обычная скорость,
— скорость света,
— ареатангенс.
Ареатангенс (или гиперболический арктангенс)
определён в области значений аргумента от −1 до +1; при
Таким образом, быстрота имеет размерность скорости и при изменении скорости от
до
меняется от
до
. Иногда вводят также параметр быстроты
— безразмерную величину, которую иногда также называют быстротой.
В пределе малых скоростей быстрота примерно равна скорости:
при
.
Фактор Лоренца
Связанная с быстротой часто используемая величина — фа́ктор Ло́ренца, или Ло́ренц-фа́ктор, названный по имени Г. А. Лоренца и определяемый как
Лоренц-фактор равен гиперболическому косинусу параметра быстроты:
.
С увеличением скорости от 0 до
Лоренц-фактор
увеличивается от 1 до
.
Аддитивность быстроты
Пусть в некоторой инерциальной системе отсчёта
две частицы движутся вдоль одной прямой, скорость одной из них равна
, а скорость второй относительно первой равна
(скорости могут быть как положительными, так и отрицательными). Обозначим скорость второй частицы в системе
через
. При малых (по сравнению со скоростью света
) скоростях приближённо выполняется галилеевский закон сложения скоростей
. Однако в релятивистском случае эта формула не действует, и скорость второй частицы необходимо вычислять с помощью лоренцевых преобразований. Релятивистский закон сложения скоростей
отличается от галилеевского знаменателем, который при малых скоростях близок к единице. Рассмотрим соответствующие скоростям быстроты
. Оказывается, что быстрота второй частицы в системе отсчёта
равна сумме быстрот:
Удобство записи закона сложения скоростей в терминах быстрот привело к тому, что эта величина довольно широко используется в релятивистской кинематике, особенно в ускорительной физике. Однако следует помнить, что сложение быстрот совпадает по виду с галилеевским векторным сложением скоростей только при одномерном движении частиц.
Геометрический смысл быстроты
В пространстве Минковского быстрота представляет собой угол между касательной к мировой линии частицы и осью времени в базовой системе отсчёта. В формализме Минковского (
) этот угол является мнимым.
В формализме гиперболических комплексных чисел (известных также как двойные числа или паракомплексные числа — вариант комплексных чисел, в которых мнимая единица j определяется соотношением j2=+1) точка в пространстве Минковского представляется паракомплексным числом z = ρejφ = ρ(ch φ + jsh φ), где φ и ρ — действительные. При этом угол φ является быстротой частицы, движущейся равномерно из начала отсчёта и проходящей через точку z, а ρ — интервалом от начала отсчёта до точки z (то есть собственным временем частицы, протекшим от прохождения через начало отсчёта до прохождения через z). Лоренц-преобразование определяется умножением пространственно-временных координат, выраженных паракомплексными числами, на паракомплексное число с единичным модулем λ(φ) = ejφ. В результате все интервалы сохраняются, а паракомплексная плоскость Минковского поворачивается на угол φ. Два последовательных Лоренц-преобразования демонстрируют аддитивность быстроты:
- λ(φ)·λ(θ) = ejφ·ejθ = ej(φ+θ) = λ(φ+θ).
Некоторые величины специальной теории относительности, выраженные через быстроту
Релятивистский импульс:
где:
— масса,
— скорость света.
Полная энергия:
где
— энергия покоя.
Скорость в СТО:
Релятивистский эффект Доплера (если вектор скорости совпадает с направлением на источник):
,
где
— параметр красного смещения.
См. также
- Псевдобыстрота
- Лоренцевский буст
Литература
- Бабурова О. В. Релятивистская кинематика и геометрия Лобачевского // Соросовский образовательный журнал. — т. 8. — 2004. — с. 77—84.
- Прохоров А. М. Физическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1. — С. 233. — 704 с.
Категории:- Специальная теория относительности
- Физические величины
- Безразмерные параметры
Wikimedia Foundation. 2010.