Аксиоматика вещественных чисел

Аксиоматика вещественных чисел

Аксиома́тика веще́ственных чи́сел — система аксиом, один из способов определения вещественных (действительных) чисел.

Далее символ $\and$ обозначает логическое «и».

Аксиомы сложения

На множестве вещественных чисел, обозначаемом через $\mathbb{R}$ (так называемую R рубленую), введена операция сложения («+»), то есть каждой паре элементов (x,y) из множества вещественных чисел ставится в соответствие элемент x + y из этого же множества, называемый суммой x и y.

1. $\forall x, y \in \mathbb{R}\quad (x + y) = (y + x)$ (коммутативность сложения);
2. $\forall x, y, z \in \mathbb{R}\quad (x + y) + z = x + (y + z)$ (ассоциативность сложения);
3. $\exists 0\in \mathbb{R} \quad \forall x \in \mathbb{R}\quad x + 0 = x$ (существование нейтрального элемента по сложению — нуля);
4. $\forall x \in \mathbb{R}\quad \exists (-x): \quad x + (-x) = 0$ (существование противоположного элемента).

Аксиомы умножения

На $\mathbb{R}$ введена операция умножения («·»), то есть каждой паре элементов (x,y) из множества вещественных чисел ставится в соответствие элемент $x \cdot y$ (или, сокращённо, xy) из этого же множества, называемый произведением x и y.

1. $\forall x, y \in \mathbb{R} \quad (x \cdot y) = (y \cdot x)$ (коммутативность умножения);
2. $\forall x, y, z \in \mathbb{R} \quad (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)$ (ассоциативность умножения);
3. $\exists 1\in \mathbb{R}\backslash \{0\} \quad \forall x \in \mathbb{R} \quad x\cdot 1=x$ (существование нейтрального элемента по умножению — единицы);
4. $\forall x\in\mathbb{R}\backslash \{0\} \quad \exists x^{-1}: \quad x\cdot x^{-1}=1$ (существование обратного элемента).

Связь сложения и умножения

1. $\forall x, y, z \in \mathbb{R} \quad (x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z$ (дистрибутивность относительно сложения).

Аксиомы порядка

На $\mathbb{R}$ задано отношение порядка «$\leqslant\$» (меньше или равно), то есть для любой пары x, y из $\mathbb{R}$ выполняется хотя бы одно из условий $x \leqslant y$ или $y \leqslant x$.

1. $( \forall x \in \mathbb{R} ): x \leqslant x$ (рефлексивность порядка);
2. $( \forall x, y, z \in \mathbb{R}): x \leqslant y \and y \leqslant z \Rightarrow x \leqslant z$ (транзитивность порядка);
3. $( \forall x, y \in \mathbb{R}): x \leqslant y \and y \leqslant x \Rightarrow x=y$ (антисимметричность порядка).

Связь отношения порядка и сложения

$( \forall x,y,z \in \mathbb{R} ): x \leqslant y \Rightarrow x+z \leqslant y+z$.

Связь отношения порядка и умножения

$( \forall x, y, z \in \mathbb{R} ): x \leqslant y \and 0 \leqslant z \Rightarrow x \cdot z \leqslant y \cdot z$.

$( \forall x, y, z \in \mathbb{R} ): x \leqslant y \and z \leqslant 0 \Rightarrow y \cdot z \leqslant x \cdot z$

Аксиома непрерывности

$( \forall X, Y \subset \mathbb{R}, X \neq \emptyset, Y \neq \emptyset )( \forall x \in X )( \forall y \in Y, x \leqslant y )( \exists c \in \mathbb{R} ): x \leqslant c \leqslant y$.

Комментарий

Эта аксиома означает, что если X и Y — два непустых множества вещественных чисел такие, что любой элемент из X не превосходит любого элемента из Y, то между этими множествами можно вставить вещественное число. Для рациональных чисел эта аксиома не выполняется; классический пример: рассмотрим положительные рациональные числа и отнесём к множеству X те числа, квадрат которых меньше 2, а прочие — к Y. Тогда между X и Y нельзя вставить рациональное число ($\sqrt{2}$ не является рациональным числом).

Эта ключевая аксиома обеспечивает плотность $\mathbb{R}$ и тем самым делает возможным построение математического анализа. Для иллюстрации её важности укажем на два фундаментальных следствия из неё.

• Каждая неубывающая ограниченная сверху последовательность в $\mathbb{R}$ имеет предел.
• Если непрерывное отображение f(x) на концах интервала имеет значения разного знака, то уравнение f(x) = 0 внутри интервала имеет вещественное решение.

Следствия аксиом

Непосредственно из аксиом следуют некоторые важные свойства вещественных чисел, например,

• единственность нуля,
• единственность противоположного и обратного элементов.

Литература

• Зорич В. А. Математический анализ. Том I. М.: Фазис, 1997, глава 2.

См. также

• Теория чисел

Ссылки