- Метод секущих
-
Метод секущих — один из численных методов решения уравнений.
Описание
В качестве функции
берут любую постоянную
, знак которой совпадает со знаком производной
в окрестности
(и, в частности, на отрезке, соединяющем
и
). Постоянная
не зависит также и от номера шага. Тогда формула итераций оказывается очень проста:
и на каждой итерации нужно один раз вычислить значение функции
.
Выясним смысл этой формулы, а также смысл условия о совпадении знаков
и
. Рассмотрим прямую, проходящую через точку
на графике
с угловым коэффициентом
. Тогда уравнением этой прямой будет
Иллюстрация последовательных приближений метода секущих.Найдём точку пересечения этой прямой с осью
из уравнения
откуда
. Следовательно, эта прямая пересекает ось
как раз в точке следующего приближения. Тем самым получаем следующую геометрическую интерпретацию последовательных приближений. Начиная с точки
, через соответствующие точки графика
проводятся секущие с угловым коэффициентом
того же знака, что производная
. (Заметим, что, во-первых, значение производной вычислять не обязательно, достаточно лишь знать, убывает функция
или возрастает; во-вторых, что прямые, проводимые при разных
, имеют один и тот же угловой коэффициент
и, следовательно, параллельны друг другу.) В качестве следующего приближения к корню берётся точка пересечения построенной прямой с осью
.
На чертеже справа изображены итерации при
в случае
и в случае
. Мы видим, что в первом случае меняющаяся точка
уже на первом шаге «перепрыгивает» по другую сторону от корня
, и итерации начинают приближаться к корню с другой стороны. Во втором случае последовательные точки
приближаются к корню, оставаясь всё время с одной стороны от него.
Условие сходимости
Достаточное условие сходимости, таково:
Это неравенство может быть переписано в виде
откуда получаем, что сходимость гарантируется, когда, во-первых,
так как
(тем самым проясняется смысл выбора знака числа
), а во-вторых, когда
при всех
на всём рассматриваемом отрезке, окружающем корень. Это второе неравенство заведомо выполнено, если
где
. Таким образом, угловой коэффициент
не должен быть слишком мал по абсолютной величине: при малом угловом коэффициенте уже на первом шаге точка
может выскочить из рассматриваемой окрестности корня
, и сходимости итераций к корню может не быть.
См. также
- Метод Ньютона (метод касательных)
- Метод Мюллера
- Метод простой итерации
- Метод хорд
В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 13 мая 2011.Категория:- Численные методы
-
Wikimedia Foundation. 2010.