ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

раздел мате матики, в к-ром изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения к решению разл. матем., физ. и др. задач. В систе-матич. форме И. и. было предложено в 17 в. И. Ньютоном и Г. Лейбницем. И. и. тесно связано с дифференциальным исчислением; интегрирование (нахождение интеграла) есть действие, обратное дифференцированию: по данной непрерывной функции f(x) ищется функция F(x) (первообразная), для к-рой f(x) является производной. Вместе с F(x) первообразной функцией для f(x) является и f(x) + С, где С - любая постоянная. Общее выражение F(x) + С первообразных непрерывной функции f(x) наз. неопределённым интегралом; он обозначается

интеграл f(x)dx=F(x)+C

Определённым интегралом непрерывной функции f(x) на отрезке [а, b], разделённом точками x₁, х₂, ..., х_n-1> (рис.), наз. предел интегральных
сумм Sⁿ_i=1f(x_i-1)дельтаx_i, где дельтаx_i>=x_i-x_i-1,> при условии, что наибольшая разность дельтаx_i> стремится к нулю и число точек деления неограниченно увеличивается; его обозначают интеграл от а до b f(x)dx (самый знак интеграла возник из первой буквы S лат. слова Summa). Через определённые интегралы выражаются площади плоских фигур, длины кривых, объёмы и поверхности тел, координаты центров тяжести, моменты инерции, работа, производимая данной силой, и т. д. О связи между определённым интегралом и первообразной см. Ньютона - Лейбница формула. Понятие интеграла распространяется на функции многих переменных (см. Кратный интеграл, Криволинейный интеграл, Поверхностный интеграл) .