логика высказываний

(Пропозициональная логика)- раздел логики, формализующий употребление логических связок "и", "или", "не", "если, то" и т. п., служащих для образования сложных высказываний из простых. Высказывание называется простым, если оно не включает в себя другие высказывания, в противном случае оно называется с л о ж н ы м. В Л. в. простые высказывания рассматриваются в отвлечении от их внутренней (субъектно-предикатной) структуры. Та или иная истинностная оценка высказывания именуется его истинностным значением.

В логике классической предполагается, что простое высказывание является либо истинным, либо ложным (см.: Двузначности принцип) и что истинностное значение сложного высказывания зависит только от истинностных значений входящих в него простых высказываний и характера их связи.

Так, соединение двух высказываний с помощью связки "и" дает сложное высказывание (именуемое конъюнкцией), являющееся истинным, только когда оба составляющие его высказывания истинны. Сложное высказывание, образованное с помощью связки "или" (дизъюнкция), истинно, если и только если хотя бы одно из двух входящих в него высказываний истинно. Сложное высказывание, образованное с помощью "не" (отрицания), истинно, если только исходное высказывание ложно. Сложное высказывание, полученное из двух высказываний с помощью связки "если, то" (импликация), истинно в трех случаях: оба входящие в него высказывания истинны, оба они ложны, первое из этих высказываний(следующее за словом "если") ложно, а второе (следующее за словом "то") истинно; импликация является ложной только когда первое из составляющих ее высказываний истинно, а второе ложно.

Возможны и другие способы образования сложных высказываний. Всего в классической двузначной логике четыре способа образования сложного высказывания из одного высказывания и шестнадцать способов образования сложного высказывания из двух высказываний.

Язык Л. в. включает бесконечное множество переменных: р, q, r,..., p1, q1, r1, ..., представляющих высказывания, и особые символы для логических связок : & - конъюнкция ("и"), v - дизъюнкция ("или"), логика высказываний - отрицание ("не" или "неверно, что"), - - импликация ("если, то"). Роль знаков препинания обычного языка играют скобки. Понятие формулы в Л. в. определяется так: отдельная переменная является формулой; если A и В - формулы, то (А&В), (AvB), логика высказыванийA и (A-B) также формулы.

Формулам Л. в., образованным из переменных и связок, в естественном языке соответствуют предложения. Напр., если р есть высказывание "Сейчас ночь", q - высказывание "Сейчас темно" и r - высказывание "Сейчас ветрено", то формула (p-(qvr)) представляет высказывание "Если сейчас ночь, то сейчас темно или ветрено", формула ((q&.r)->p) - высказывание "Если сейчас темно и ветренно, то сейчас ночь", формула (логика высказыванийq->логика высказыванийp) - высказывание: "Если неверно, что сейчас темно, то сейчас не ночь" и т. п. Подставляя вместо переменных другие высказывания, получим другие переводы указанных формул на обычный язык.

Каждой формуле Л. в. можно поставить в соответствие таблицу истинности, указывающую зависимость истинностного значения формулы от истинностных значений входящих в нее переменных. Напр., формула (логика высказыванийq->логика высказыванийp) принимает значение "ложно" только в случае ложности q и истинности р.

Формула Л. в. называется тождественно-истинной, или тавтологией, если и только если она принимает значение "истинно" при всех распределениях истинностных значений входящих в нее простых высказываний. Формула, принимающая при всех распределениях значение "ложно", называется противоречием. Тавтологии выражают логические законы. К тавтологиям относятся, в частности, формулы:

(р-р) - закон тождества, логика высказываний(р&логика высказыванийр) - закон непротиворечия,

(pvлогика высказыванийp) - закон исключенного третьего, (p-q)->(логика высказыванийq->логика высказыванийp) - закон контрапозиции.

Множество тавтологий бесконечно.

Л. в. может быть представлена также в форме логического исчисления, в котором задается способ доказательства некоторых высказываний (формул), называемых теоремами. Исчисление может быть формализовано с помощью аксиоматического метода. При этом указываются формулы, принимаемые в качестве аксиом, и задаются правила вывода, позволяющие получать из аксиом теоремы. Аксиоматическое исчисление высказываний строится таким образом, чтобы класс теорем совпадал с классом тавтологий, т. е. чтобы каждая теорема была тавтологией и каждая тавтология - теоремой (см.: Полнота). По отношению к аксиоматическому построению встают также вопросы о его непротиворечивости и независимости принятых аксиом и правил вывода.

Наряду с классической Л. в., предполагающей, что всякое высказывание является истинным или ложным, существуют многообразные неклассические Л. в. В числе последних - многозначные Л. в., интуиционистская Л. в. и др.