Гармоническое число

В математике n-м гармоническим числом называется сумма обратных величин первых n последовательных чисел натурального ряда:

$H_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}.$

Гармонические числа являются частичными суммами гармонического ряда.

Изучение гармонических чисел началось в античности. Они имеют важное значение в различных областях теории чисел и теории алгоритмов и, в частности, тесно связаны с дзета-функцией Римана.

Альтернативные определения

• Гармонические числа можно определить рекуррентно следующим образом:

  $\begin{cases} H_n = H_{n-1} + \frac{1}{n} \\ H_1 = 1 \end{cases}$

• Также верно соотношение:

  $H_n = \gamma + \psi(n + 1) = \frac{\Gamma'(n)}{\Gamma(n)} + \frac{1}{n} + \gamma$,

  где $\psi(n)$ — дигамма-функция, $\gamma=- \psi(1)$ — постоянная Эйлера — Маскерони.

Дополнительные представления

Нижеследующие формулы могут быть использованы для вычисления гармонических чисел (в том числе и в точках отличных от точек натурального ряда):

• Интегральные представления:

  $H_x = \int_0^1 \frac{-1 + t^x}{-1 + t} dt, \quad Re(x) > -1$

  $H_x = \int_0^\infty \frac{1 - e^{tx}}{-1 + e^t} dt, \quad Re(x) > -1$

• Предельные представления:

  $H_x = \lim_{n \to \infty} \left( \ln(n) - \sum_{k=0}^n \frac{1}{x + k + 1} \right) + \gamma$

  $H_x = x \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(k + 1)(x + k + 1)}$

• Разложение в ряд Тейлора в точке $x = 0$:

  $H_x = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \zeta(k + 1) x^k = \zeta(2) x - \zeta(3) x^2 + \zeta(4) x^3 - \zeta(5) x^4 + \cdots,$

  где $\zeta(x)$ — дзета-функция Римана.

• Асимптотическое разложение:

  $H_x = \gamma + \ln(x) + \frac{1}{2x} - \frac{1}{12x^2} + \frac{1}{120x^4} - \frac{1}{252x^6} + \frac{1}{240x^8} - \frac{1}{132x^{10}} + \cdots$

Свойства

Значения от нецелого аргумента

• $H_{1/2} = 2 - 2\ln2$

• $H_{1/3} = 3 - \frac{3 \ln3}{2} - \frac{\pi}{2 \sqrt{3}}$

• $H_{1/4} = 4 - 3\ln2 - \frac{\pi}{2}$

• $H_{1/5} = 5 - \frac{5 \ln5}{4} - \frac{1}{2} \sqrt{1 + \frac{2}{\sqrt{5}} } \pi - \frac{\sqrt{5}}{2} \ln\phi,$

где $\phi$ — золотое сечение.

• $H_{1/7} = 7 - \ln14 - \frac{\pi}{2} \cot\frac{\pi}{7} - 2 \cos\left(\frac{ \pi}{ 7}\right) \ln\left(\cos\frac{ \pi}{14}\right) + 2 \sin\left(\frac{3\pi}{14}\right) \ln\left(\sin\frac{ \pi}{ 7}\right) - 2 \sin\left(\frac{ \pi}{14}\right) \ln\left(\cos\frac{3\pi}{14}\right)$

Суммы, связанные с гармоническими числами

• $\sum_{k=1}^\infty \frac{H_k}{k} = \infty$

• $\sum_{k=1}^\infty \frac{H_k}{k^2} = 2 \zeta(3)$

• $\sum_{k=1}^\infty \frac{H_k}{k^3} = \frac{5}{4} \zeta(4) = \frac{\pi^4}{72}$

• $\sum_{k=1}^\infty \frac{H_k}{k^4} = 3 \zeta(5) - \zeta(2)\zeta(3) = 3 \zeta(5) - \frac{\pi^2}{6}\zeta(3)$

Теоретико-числовые свойства

• Теорема Вольстенхольма утверждает, что для всякого простого числа $p>3$ выполняется сравнение:

  $H_{p-1} \equiv 0 \pmod{p^2}.$

Приложения

В 2002 году Lagarias доказал,^[1] что гипотеза Римана о нулях дзета-функции Римана эквивалентна утверждению, что неравенство

$\sigma(n) \le H_n + \ln(H_n)e^{H_n}$

верно при всех целых $n \ge 1$ со строгим неравенством при $n > 1$, где $\sigma(n)$ — сумма делителей числа $n$.

См. также

• Теорема Вольстенхольма

Примечания

1. ↑ Jeffrey Lagarias An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis // Amer. Math. Monthly. — 2002. — № 109. — С. 534-543.