- СПЕКТР ОПЕРАТОРА
- СПЕКТР ОПЕРАТОРА
-
- обобщение на бесконечномерный случай понятиямножества собственных значений матрицы линейного преобразованияв конечномерном векторном пространстве.
Если М - такая n X n-матрица, то её собств. значения
- это комплексные числа, для к-рых ур-пие
имеет ненулевые решения ( собственные векторы матрицы М). Длясуществования таких решений необходимо и достаточно, чтобы
0, где I - единичная пX п -матрица. Множество собств. <значений (спектр М )содержит не более п точек, т. к.
- полином степени и и имеет не более п различных корней
.Сама матрица М удовлетворяет ур-нию Гамильтона - Кэли
,а по теореме Виета
(для простоты принято, что все
различны). Если положить
, то оператор
является проектором на собств. подпространство, принадлежащее
:для любого вектора х вектор Pi(x)- собственныйи принадлежит
При этом матрица М имеет спектральное разложение [1]:
Для эрмитовых М проекторы также эрмитовы,
вещественны, а собств. подпространства ортогональны друг другу. При
матрица
имеет обратную. Вообще, в конечномерном случае есть две возможности: либо(I)
-регулярная точка и резольвента
существует как оператор на всём векторном пространстве, либо (II)
- точка спектра и резольвента не существует.
В бесконечномерном случае речь идёт об операторах А, действующихв нормированном линейном пространстве (банаховом пространстве)
,и появляется третья возможность: (III) ур-ние
имеет лишь нулевые решения в
,но резольвента
не определена на всём
.Объединяя вторую (т о ч е ч н ы й, или дискретный, спектр) и третью (непрерывныйи остаточный спектры) возможности, С. о. называют множество таких
,для к-рых резольвента не является ограниченным оператором на всём
.При этом
принадлежит непрерывному спектру, если область значений оператора
плотна в
,и остаточному - в противном случае. У ограниченных самосопряжённых операторовостаточный спектр отсутствует.
В квантовой механике наблюдаемым отвечают самосопряжённые операторы, <действующие в гильбертовом пространстве
. Сведения об их спектре имеют непосредственный физ. смысл. Так, точечныйспектр оператора Гамильтона - это уровни энергии связанных состояний, анепрерывному спектру отвечают состояния, фигурирующие в теории рассеяния. <В соответствии с идеей П. Дирака [2] в квантовой механике оперируют с формальнымирешениями ур-ния
, отвечающими непрерывному спектру; такие решения не принадлежат
.Напр., для системы с одной степенью свободы, координата к-рой может приниматьзначения на всей оси
,,
в координатномпредставлении реализуется как пространство
квадратично интегрируемых ф-ций
на
. Операторимпульса
имеетнепрерывный спектр, совпадающий с
.Решениями ур-ния
являются плоские волны
;поскольку в пространстве
их норма
расходится, они не принадлежат
и наз. обобщёнными собственными векторами. Комбинация
является аналогом проектора на обобщённый собств. вектор
, а спектральное разложение
аналогом разложения (*) для случая непрерывного спектра: для любоговектора
из
имеем:
Эта конструкция служит только моделью математически строгого определенияспектрального разложения операторов с непрерывным спектром ([3], [4]).В большинстве квантовомеханич. задач дискретный и непрерывный участки спектране пересекаются, а случаи, когда точки дискретного спектра погружены внепрерывный, считаются экзотическими. Простейший пример такой ситуации- осциллирующий и медленно убывающий с расстоянием потенциал (т. н. потенциалВигнера - фон Неймана).
Лит.:1) X а л м о ш П., Конечномерные векторные пространства, <пер. с англ., М., 1963; 2) Д и р а к П. А. М., Принципы квантовой механики, <пер. с англ., 2 изд., М., 1979; 3) Р и д М., Саймон Б., Методы современнойматематической физики, т. 1, Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1977;4) ф о н Нейман И., Математические основы квантовой механики, пер. с нем.,М., 1964. В. П. Павлов.
Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.
.