- СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
- СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
-
оператора, действующего в функциональном пространстве,- ненулевые ф-ции
, переводящиеся оператором А в пропорциональные им:
Комплексное либо вещественное число
наз. собственным значением оператора А. В гильбертовомпространстве
ф-цийиа множестве
,интегрируемых с квадратом по мере
,в к-ром задано скалярное произведение ф-ций
(звёздочка означает комплексное сопряжение) и вводится понятие сопряжённогооператора, особенно важную роль играют самосопряжённые линейные операторы (эрмитовыоператоры, в дальнейшем линейность операторов подразумевается). Это такиеоператоры, для к-рых
для всех х и у из
(и эти скалярные произведения имеют смысл); множества всех допустимых ф-ций . и у должны совпадать; все собств. значения таких оператороввещественны. В квантовой механике с каждой наблюдаемой ассоциируетсясамосопряжённый оператор, С. ф. к-рого задают состояние системы с определённымзначением оператора наблюдаемой. Напр., для гармонич. осциллятора операторэнергии (гамильтониан)
С. ф. к-рого являются функции Эрмита, ортогональные на
. При этом k -й С. ф.
соответствует собств. значение
С. ф. f1 и f2 самосопряжённого оператора А, отвечающие разл. собств. значениям
п
, ортогональны,
Множество
всех С. ф., отвечающих одному собств. значению
,образует линейное подпространство, совпадающее с ядром оператора
(I - единичный оператор), т. е. с множеством ф-ций, переводимых этим операторомв 0 (ядром оператора В наз. множество ф-ций f, для к-рых Bf=0).
В приложениях (вариац. исчисление, классич. граничные задачи матем. <физики) важную роль играют самосопряжённые интегральные операторы К:
ф-ция К(х, <у) - К*(у, <х )наз. ядром интегрального оператора (непутать с понятием ядра оператора, определённым выше). Если оператор . ограничен, <а его ядро- интегрируемая ф-ция, то К компактен и его С. ф. образуют базис в пространстве
. Ядро К(х, <у )такого оператора можно разложить в (конечную либобесконечную) сумму:
где
- набор (всегда конечный при данном п) ортонормированных С. ф., отвечающиходному и тому же собств. значению
,при этом
при
Примером такого интегрального оператора может служить решение Дирихлезадачи. Одним из критериев ограниченности является условие
, т. е. ф-ция К(х, <у )интегрируема с квадратом по своим аргументам.
Класс самосопряжённых операторов, действующих на всём гильбертовом пространствеф-ций
, слишком узок, чтобы охватить все физически интересные величины. Не вседаже ограниченные операторы имеют разложение (*). Напр., унитарный оператор сдвига
не имеет С. ф. в пространстве
то же справедливо и для неограниченных операторов, к к-рым относятся практическивсе дифференциалъные операторы. Для таких операторов понятие С. <ф. обобщается в т. н. спектральном разложении. Рассмотрим спектр оператора
. Если число
,то резольвента оператора А,
,сингулярна на
.Все собств. значения А окажутся особыми точками
[поскольку в них найдётся
такая, что
и обратного оператора на всём
не существует]. Но помимо таких особенностей у
будут и др. особые точки
.в к-рых оператор
определён, но неограничен. Спектральная теорема утверждает, что всякийсамосопряжённый оператор А допускает спектральное разложение вида
Здесь
- ортогональное семейство проекционных операторов, проектирующихна подпространство ф-ций f из
таких, что
.Для самосопряжённого оператора А , ядро к-рого допускает разложение(*) по С. ф.
,
будут интегральными операторами с ядром (спектральным)
Рассмотрим спектральное разложение оператора импульса
, действующего на прямой (см. Операторы]. Его С. ф.
непринадлежит пространству
(хотя могут быть аппроксимированы ф-циями из L2 на любомконечном отрезке). Всякий оператор ( Р + rI)-1 будет неограничен для любого вещественного г; т. о., спектр
Для того чтобы построить спектральное разложение самосопряжённого оператора А, можно найти унитарное преобразование U пространства ф-ций
и набор мер
(N = 1, 2,...,
)(наличие целого набора спектральных мер вместо одной обобщает понятие кратностисобств. значения
),таких, что
т. е. оператор U переводит всё пространство ф-ций
в набор подпространств, внутри каждого из к-рых оператор А действуеткак оператор умножения:
Для оператора импульса Р таким унитарным преобразованием будет Фурьепреобразование:
Тогда
а фурье-образом проекционного оператора
будет оператор умножения на ф-цию
,
Лит.: Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика. Нерелятивистскаятеория, 4 изд., М., 1989; Рисс Ф., Секефальви-Надь В., Лекции по функциональномуанализу, пер. с франц., М., 1954; И о с и д а К., Функциональный анализ, <пер. с англ., М., 1967; Рид М., Саймон Б., Методы современной математическойфизики, пер. с англ., т. 1 - Функциональный анализ, М., 1977; Математическаяэнциклопедия, т. 5, М., 1985. Л. О. Чехов.
Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.
.