- СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
- СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
-
- отображение, сопоставляющее каждой паре е 1,е 2 векторов к.-л. векторного пространства L нек-роечисло (e1, е 2), причём выполняются след. условия:а)
(*означает комплексное сопряжение); б)
(e,e) = 0 лишь при е =0. Из этих аксиом следуют неравенство Коши- Буняковского - Шварца 
и антилинейность С. п. по первому аргументу, т. е.
С. <п. порождает в L н о р м у, т. е. операцию, сопоставляющуюкаждому вектору е вещественное неотрицательное число
,к-рое служит обобщением понятия длины вектора е,
. Т. о., пространство L оказывается нормированным. Норма задаёттопологию пространства L, т. е. определяет в нём понятие близости: последовательность е 1,е 2, ..., е п, ... векторов считается сходящейсяк вектору «, если 
-
при 
.Пространство L наз. полным, если любая последовательность векторов е 1,..., е п... (такая, что 
при га,
)имеет предел е, являющийся вектором того же L. Если (e1,e2)= 0, то векторы e1 и е 2 наз. ортогональными. Если 
, то вектор наз. нормированным. Совокупность e1, е 2,...,е п наз. ортонормированной системой векторов, еслиона состоит из нормированных, попарно ортогональных векторов.Конечномерное пространство L, снабжённое С. п., наз. евклидовымпространством. Если L является бесконечномерным и полным, тооно наз. гильбертовым пространством. С. п. ( е 1, е), гдевектор e1 фиксирован, а вектор е рассматриваетсякак переменная, определяет числовую ф-цию f(e) - (e1, е )нагильбертовом пространстве. Эта ф-ция линейно зависит от е иобладаетсвойством непрерывности [если
, то 
],её называют линейным функционалом.В гильбертовом пространстве всякий линейный функционал i(e )порождаетсяС. п., т. е. всегда найдётся такой вектор e1, что f(e)= (e1, е).
Лит.: Дирак П. А. М., Принципы квантовой механики, пер. с англ.,2 изд., М., 1979; Кострикин А. П., М а н и н Ю. И., Линейная алгебра игеометрия, 2 изд., М., 1986. О. И. Завьялов.
Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.
.
