- СВЯЗНОСТЬ
- СВЯЗНОСТЬ
-
дифференциально-геометрическая - правило, сопоставляющеекаждому тензору
типа ( р, q )его ковариантную производную
являющуюся тензором типа ( р, q + 1). В координатах х 1,...,х п С. задаётся набором Кристоффе-ля символов
по ф-ле:
При замене координат
величины
должны заменяться на
С. определяет параллельный перенос тензоров вдоль кривых: тензор . параллелен вдоль кривой
, i = l,..., п, если
. Ур-ниями определены геодезич. С.
Тензор кручения С. определяется ф-лой
С. с нулевым кручением наз. симметричной. Кривизна С. определяется кривизнытензором
Через кривизну и кручение выражаются коммутаторы ковариантныхпроизводных, напр. для векторов Т i имеем:
Евклидова С. задаётся, по определению, условиями в нек-рых координатах;в этом случав координаты
наз. евклидовыми. В таких координатах ковариантные производные совпадаютс частными. Тем самым евклидова С. определяет правила дифференцированиятензоров в любых криволинейных координатах. С. является евклидовой(локально), если её кривизна и кручение равны нулю.
В римановом пространстве (или псевдоримановом пространстве) С, <однозначно определяется по римановой метрике ( индефинитной метрике)gij условиями
,
. Параллельныйперенос при этом сохраняет длины векторов и углы между ними:
тензор кривизны этой С. наз. тензором кривизны риманова пространства.
С. и построенные по ней тензоры используются в ур-ниях общей теорииотносительности.
С. в расслоении со структурной группой G - то же, что калибровочное поле. Поля
, принимающие значения в зарядовом пространстве, играют при этом роль тензорныхполей. Если А i (х)- калибровочное поле, принимающее значениев Ли алгебре L(G) группы G симметрии зарядового пространства (т. <е. матричнозначное), то ковариантные производные поля
определяются ф-лами:
Осн. их свойство - при локальных зарядовых преобразованиях
[где ф-ция g(x )принимает значения в группе GJ и калибровочныхпреобразованиях
производная
преобразуется ковариантно:
. Это даёт однозначный рецепт введения взаимодействия полей Ai(x )и
: если
-свободный лагранжиан поля
,инвариантный относительно зарядовых преобразований, то лагранжиан
описывает калибровочно-инвариантное взаимодействие полей А i и
Параллельный перенос поля
вдоль кривой xi = xi(t )определяется из ур-ния
.Кривизна С. в расслоении определяется ф-лой:
где скобки обозначают коммутатор. При калибровочных преобразованияхона меняется по закону:
Если кривизна С. равна нулю, то калибровочное поле локально представляетсяв виде
и калибровочным преобразованием приводится к нулевому. Кривизна С. определяетизменение поля
при параллельном переносе вдоль контура бесконечно малого параллелограммасо сторонами
,
:
. Она удовлетворяет тождеству Б ь я н к и:
,где
. В полный лагранжиан калиоровочных теории, используемых, напр., в теории сильных взаимодействий, кривизна входит в инвариантной комбинации-
(здесьSp - след матрицы, е - заряд).
Лит.: Славнов А. А., Фаддеев Л. Д., Введение в квантовую теориюкалибровочных полей, 2 изд., М., 1988; Дубровин Б. А., Новиков С. П., ФоменкоА. Т., Современная геометрия, 2 изд., М., 1986. Б. А. Дубровин.
Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.
.