НЕЙМАНА ЗАДАЧА

НЕЙМАНА ЗАДАЧА
НЕЙМАНА ЗАДАЧА

- задача о нахождении решения Лапласа уравненияDu = 0 или Пуассона уравненияDu = -f в области G (внутр. H. з.) или вне её (внеш. H. з.), имеющего на границе S области G заданную непрерывную нормальную производную u1 (соответственно внутри и извне S). При постановке внеш. H. з. требуется, чтобы решение на бесконечности стремилось к нулю в трёхмерном и было ограниченным в двумерном случаях.

H. з. для ур-ний Пуассона и Лапласа связаны подстановкой u(x)= и( х) - V(x), где в трехмерном случае

3051-25.jpg - объёмный потенциал, а в двумерном 3051-26.jpg - логариф-мич. потенциал; очевидным образом связаны и граничные значения u1 и u1. Внеш. H. з. связана с внутренней преобразованием Кельвина, т. е. переходом к новым координатам x3051-27.jpg x' = xR2/x2 и новой ф-ции

3051-28.jpg

(в двумерном случае множитель R/|x'| перед и отсутствует). Координаты x и х' симметричны относительно сферы радиуса R с центром в начале координат.

Решение внутр. H. з. существует, единственно с точностью до постоянной и непрерывно зависит от граничных условий для достаточно гладких границ S (в частности, для S, задаваемых в окрестности каждой своей точки x0 ур-нием fx о = 0 с условием, что 3051-29.jpg О, a fx о непрерывна вместе со своими производными). Необходимым условием разрешимости внутр. H. з. (а также внеш. H. з. в двумерном случае) является равенство

3051-30.jpg

Решение H. з. для ур-ния Лапласа обычно представляется в виде потенциала простого слоя

3051-31.jpg

(в двумерном случае вместо | х.- у|-1 стоит -ln | х - у| )и сводится к решению Фредгольма уравнения для плотности m(x):

3051-32.jpg

где "+" соответствует внутренней"-" внешней Н. <э., yxy - угол между вектором x - у и нормалью к S вточке у, dSy - элемент поверхности в точке у.

H. з. часто встречается в электро- и магнитостатике, стационарных задачах гидродинамики, теплопроводности и т. д. Условие её разрешимости имеет физ. смысл закона сохранения: суммарный поток (напряжённости электрич. или магн. поля, несжимаемой жидкости, тепла и т. д.) через замкнутую поверхность S равен суммарной величине источников (заряда и т. п.).

Лит.: Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 5 изд., M., 1988; Миранда К., Уравнения с частными производными эллиптического типа, пер. с итал., M., 1957; Tихонов A. H., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 5 изд., M., 1977. В. П. Павлов.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. . 1988.


.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "НЕЙМАНА ЗАДАЧА" в других словарях:

  • НЕЙМАНА ЗАДАЧА — то же, что вторая краевая задача. Названа по имени К. Неймана (К. Neumann, 1877), к рый впервые систематически исследовал ее …   Математическая энциклопедия

  • Неймана задача —         вторая краевая задача, одна из краевых задач (См. Краевые задачи), ставящихся для дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка. В простейших случаях (в частности, для уравнения Лапласа) Н. з. состоит в отыскании… …   Большая советская энциклопедия

  • Задача Дирихле — Задача Дирихле  задача отыскания в области евклидова пространства гармонической функции , которая на границе области совпадает с наперёд заданной непрерывной функцией . Задачу отыскания регулярного в области решения эллиптического уравнения… …   Википедия

  • Задача Неймана — Задача Неймана, вторая краевая задача  в дифференциальных уравнениях краевая задача с заданными граничными условиями для производной искомой функции на границе области  так называемые граничные условия второго рода. По типу области… …   Википедия

  • НЕЙМАНА РЯД — ряд вида где Бесселя функции (цилиндрич. функции 1 го рода), нек рое число (действительное или комплексное). К. Нейман [1] рассмотрел частный случай, когда целое число. Он показал, что если аналитич. ция в замкнутом круге с центром в начале… …   Математическая энциклопедия

  • НЕЙМАНА МЕТОД ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ — один из методов доверительного оценивания, позволяющий получать интервальные оценки для неизвестных параметров вероятностных законов по результатам наблюдений. Предложен и развит Ю. Нейманом (см. [1], [2]). Суть метода заключается в следующем.… …   Математическая энциклопедия

  • НЕЙМАНА СТРУКТУРА — структура, определяемая статистикой, не зависящей от достаточной статистики. Понятие Н. с. введено Ю. Нейманом (J. Neyman, см. [1]) в связи с задачей построения подобных критериев в теории проверки статистич. гипотез, при этом сам термин Н. с.… …   Математическая энциклопедия

  • КРАЕВАЯ ЗАДАЧА — теории потенциала основная задача потенциала теории как классической, так и абстрактной. Поскольку классические ньютонов и логарифмич. потенциалы удовлетворяют определенным дифференциальным уравнениям с частными производными эллиптич. типа, а… …   Математическая энциклопедия

  • Дирихле задача — Задача Дирихле  задача отыскания в области D евклидова пространства гармонической функции u, которая на границе области D совпадает с наперёд заданной непрерывной функцией . Задачу отыскания регулярного в области решения эллиптического уравнения… …   Википедия

  • КРАЕВАЯ ЗАДАЧА — для эллиптического уравнения задача отыскания регулярного в области Dрешения иэллиптического уравнения удовлетворяющего нек рым дополнительным условиям на границе Г области D. Классические К. з. являются частными случаями следующей задачи: найти… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»