ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ


ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ
ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ

-соотношение, связывающее циклич. частоты 1119933-5.jpg и волновые векторы k собственных гармонич. волн ( нормальных волн )в линейных однородных системах: непрерывных средах, волноводах, передающих линиях и др. Д. <у. записывается в явном 1119933-6.jpg или неявном 1119933-7.jpg виде. В тех случаях, когда зависимость 1119933-8.jpg неоднозначна, выделяют однозначные ветви Д. <у.: 1119933-9.jpg (где n= 1, 2, ...), соответствующие нормальным модам системы, т. е. совокупностям нормальных волн с одинаковой (в т. ч. поляризационной) структурой. Графич. изображение корней Д. у. на плоскости 1119933-10.jpg наз. дисперсионной кривой.

Д. у. эквивалентно полному кинематич. описанию волновых процессов в системе. В частности, Д. у. определяет фазовые скорости гармонич. волн в направлении k1119933-11.jpg , групповые скорости перемещения квазигармонич. одномодовых волновых пакетов1119933-12.jpg1119933-13.jpg, расплывание пакетов (зависящее от величин вторых 1119933-14.jpg или более высоких производных). В области комплексных значений 1119933-15.jpg и 1119933-16.jpg Д. у. определяет временные 1119933-17.jpg и пространственные Г инкременты (или декременты) процессов распространения волн 1119933-18.jpg (см. Дисперсия волн).

Д. у. являются следствием динамических (в общем случае интегродифференциальных) ур-ний движения и краевых условий на границах раздела сред. И наоборот, по виду Д. у. иногда (при наличии определённой априорной информации о системе) или во всех случаях, когда Д. у. представлено через полиномы по 1119933-19.jpg и k, могут быть восстановлены динамич. ур-ния процессов с помощью замены

1119933-20.jpg

Д. у. позволяет установить общность между волновыми движениями разл. природы: так, напр., одно и то же соотношение 1119933-21.jpg соответствует: 1) эл.-магн. волнам в изотропной плазме (при этом 1119933-22.jpg- плазменная частота, u=c- скорость света в вакууме); 2) плазменным волнам (1119933-23.jpg, 1119933-24.jpg, 1119933-25.jpg- тепловая скорость электронов); 3) волнам в радиоволноводах (u=c, 1119933-26.jpg, 1119933-27.jpg -поперечное волновое число, определяемое размерами, конфигурацией волновода, типом и номером моды); 4) волнам в волноводах акустических(u=cS- скорость звука. 1119933-28.jpg); 5) элементарной частице в релятивистской волновой механике ( и = с,1119933-29.jpg, m0 - масса покоя).

В плавно неоднородных средах, где гармонические во времени поля можно представить в виде

1119933-30.jpg ,

обобщением Д. у. является уравнение эйконала1119933-31.jpg1119933-32.jpg., к-рое совпадает при фиксиров. значении координаты r с Д. у. в соответствующей однородной среде. Ур-нию эйконала можно сопоставить систему лучевых ур-ний (см. Геометрической оптики метод): 1119933-33.jpg, 1119933-34.jpg. Аналогичным образом Д. у. обобщается на системы с медленно меняющимися во времени параметрами (параметрические колебательные системы).

При исследовании нелинейных систем Д. у. позволяет описать волновые процессы вблизи стационарных состояний и установить их устойчивость или характер их неустойчивости. При этом Д. у. составляется для линеаризов. ур-ний, описывающих малые отклонения от стационарного состояния. По виду Д. у. можно определить тип неустойчивости: если действительным k соответствуют комплексные значения 1119933-35.jpg , то имеет место абсолютная неустойчивость системы, если действительным 1119933-36.jpg соответствуют комплексные значения 1119933-37.jpg, неустойчивость является конвективной (см. Неустойчивость в колебательных и волновых системах).

Существует обобщение Д. у. на существенно нелинейные стационарные волновые процессы (периодические нелинейные волны или уединённые волны - солитоны). В этом случае нелинейное Д. у. связывает амплитуду стационарной волны с её структурными параметрами - характерными временами и масштабами (см. Нелинейные колебания и волны).

При квантовом подходе Д. у. приобретает смысл соотношения между энергией 1119933-38.jpg и импульсом 1119933-39.jpg (см. Дисперсии закон).

Лит.: Крауфорд Ф., Волны, пер. с англ., 3 изд., M., 1984; Уизем Дж., Линейные и нелинейные волны, пер. с англ., M., 1977. M. А. Миллер, Г. В. Пермитин.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. . 1988.


.