- АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ
- АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ
-
- особая симметрия физ. системы, состоящая в том, что изменение масштабов независимых переменных может быть скомпенсировано преобразованием подобия др. динамич. переменных. А. приводит к эфф. сокращению числа независимых переменных. Напр., если состояние системы характеризуется ф-цией и(х, t), где х - координата, t - время, то условие инвариантности относительно изменения масштабов x'-kx, t'=lt и преобразования подобия таково:
,где
- числа. Выбор 
, где m - подобия критерий (параметр), придаёт первонач. ф-ции автомодельный вид 
.Т. о., ф-ция и при постоянном т зависит только от комбинации
. А. возможна, если набор параметров, определяющих состояние системы, не содержит характерных масштабов независимых переменных. Поскольку в большинстве задач форма преобразования подобия заранее неизвестна, автомодельную подстановку надо в каждом случае находить отдельно. Для этого имеются 3 способа:1. Размерностей анализ. Состояние системы характеризуется набором размерных параметров и ф-ций, зависящих от координат х, у, z и времени t. Если один из безразмерных критериев подобия имеет вид
, где b - параметр, имеющий размерность 
, Х 0, Т 0 - характерные длина и промежуток времени, L, Т - единицы длины и времени соответственно, то в качестве автомодельных переменных можно выбрать безразмерные комбинации 
,
, 
. В том случае, когда имеется не более двух определяющих параметров с независимыми размерностями, отличными от длины и времени, переход к автомодельным переменным превращает ур-ние с частными производными в обыкновенное дифференц. ур-ние.2. Непосредственный подбор. Формально вводится автомодельная замена переменных
или, в более общем виде, 
, 
. Ур-ния, начальные и граничные условия должны иметь структуру, допускающую такую замену. Решение существует не для любых значений 
и не для любых ф-ций 
. Для получения подходящих значений необходимо решить нелинейную задачу на собств. значения.3. Исследование групповых свойств ур-ний. Рассмотрим систему дифференц. ур-ний с частными производными 1-го порядка
=0, где 
-независимые переменные, 
-искомые ф-ции,
Всевозможные замены переменных 
, допускаемые системой, образуют группу Ли. Автомодельные замены являются её однопараметрич. подгруппой растяжений. В нек-рых случаях найти такие замены позволяет след. процедура.В пространстве переменных
группа Ли задаётся своими генераторами, имеющими общий вид X=
, где 
-нек-рые ф-ции переменных х, и; по повторяющимся индексам производится суммирование. В пространстве переменных 
группа Ли задаётся генераторами 
, где 
. Система ур-ний 
определяет гиперповерхность в пространстве переменных 
, к-рая является инвариантом группы при условии 
, когда 
; эти условия служат для определения ф-ций 
и 
.Комбинации переменных, дающие искомую замену, являются первыми интегралами ур-ния
. Напр., для двух независимых переменных x, t и одной искомой ф-ции и оператор растяжений имеет вид 
- числа. Набор первых интегралов ур-ния 
таков: 
, поэтому автомодельное решение ур-ний, допускающих группу растяжений, будет иметь вид 
, 
-новая искомая ф-ция.Рассмотрим, напр., Кортевега - де Фриса уравнение
, где 
-пост. параметр; оно инвариантно относительно преобразования 
, 
. Генератор 
-оператор растяжений, и автомодельное решение имеет вид 
Подставляя это решение в исходное ур-ние, получаем обыкновенное дифференц. ур-ние для ф-ции
:
Однопараметрич. группа растяжений абелева. Если система допускает решения, построенные на др. одно-параметрич. абелевых подгруппах, то подходящей заменой этим решениям можно придать автомодельный вид, что является следствием подобия этих групп. В частности, автомодельные движения тесно связаны с нелинейными бегущими волнами, т. е. решениями вида
, для к-рых место преобразования подобия занимает преобразование сдвига. Замена х=
, 
, 
переводит волновое решение f в автомодельное:
А., отражающая внутр. симметрию, присуща многим явлениям и используется при решении разл. физ. задач, особенно в механике сплошных сред (см. Автомодельное течение).
Метод ренормализационной группы в квантовой теории поля, по существу, также основан на использовании автомодельного преобразования переменных. Интересно, что в автомодельных переменных ур-ние ренормгруппы оказывается тождественным одномерному ур-нию переноса излучения. В физике элементарных частиц А. выражается в том, что сечения нек-рых процессов при высоких энергиях зависят лишь от безразмерных автомодельных комбинаций импульсов. Общие принципы квантовой теории поля допускают широкий класс таких автомодельных асимптотик.
Лит.: Седов Л. И., Методы подобия и размерности в механике, 9 изд., М., 1981; Боголюбов Н. Н., IIIирков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, 4 изд., М., 1984; Биркгоф Г., Гидродинамика, пер. с англ., М., 1963; Овсянников Л. В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., 1978; Арнольд В. И., Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М., 1978, гл. 1; Баренблатт Г. И., Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика, 2 изд., Л., 1982.
В. Е. Рокотян.
Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.
.
