РАВНОВЕСИЯ СОСТОЯНИЕ

РАВНОВЕСИЯ СОСТОЯНИЕ

       

колебательной системы, состояние динамич. системы, к-рое не изменяется во времени. Р. с. могут быть устойчивыми, неустойчивыми и безразлично-устойчивыми. Движение системы вблизи положения равновесия (при малом от него отклонении) может быть существенно разным в зависимости от характера типа) Р. с.

Для систем с одной степенью свободы, если Р. с. устойчиво, при малом возмущении (отклонении) система возвращается к нему, совершая затухающие колебания (на фазовой плоскости — (см. ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО) — такому движению соответствует устойчивый фокус; рис 1, а), или апериодически (устойчивый узел; рис. 2, а).

Вблизи неустойчивого Р. с. малые отклонения нарастают, совершая колебания (неустойчивый фокус; рис. 1, б), или апериодически (неустойчивый узел; рис. 2, б); вблизи седлового Р. с. (рис. 3) возможно вначале приближение к Р. с., а затем уход. Наконец, в случае безразлично-устойчивого Р. с. (центр; рис. 4) малые отклонения приводят к незатухающим колебаниям вблизи Р. с. Для систем с неск. степенями свободы движение вблизи Р. с. может быть более сложным и существенно зависеть от характера нач. отклонения. Движение динамич. системы вблизи Р. с. чаще всего описывается линеаризованными ур-ниями, имеющими решение в виде суммы экспонент aelit с комплексными (в общем случае) характеристич. показателями li. Р. с. устойчиво, если действит. части всех характеристич. показателей отрицательны (Reli<0); если же имеется хотя бы один li с положительной действительной частью, то Р. с. неустойчиво. Если же часть характеристич. показателей имеет Reli=0, а для остальных Reli<0, то исследование устойчивости становится более сложным. Для систем с одной степенью свободы (напр., матем. маятник) этих показателей два: l1 и l2. В зависимости от их величины на фазовой плоскости системы возможны четыре типа Р. с.: узел (Iml1,2=0, Rel1•Rel2>0) — рис. 2, фокус (Iml1,2?0, Rel1=Rel2?0) — рис. 1, седло (Iml1,2=0, Rel1•Rel2<0) — рис. 3 и центр (Iml1,2?0, Rel1=Rel2=0) — рис. 4.

Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1983.

РАВНОВЕСИЯ СОСТОЯНИЕ

динамической системы - состояние динамической системы, к-рое не изменяется во времени. Р. с. может быть устойчивым, неустойчивым и безразлично-устойчивым. Движение системы вблизи равновесия (при малом от него отклонении) существенно различается в зависимости от характера (типа) Р. с. В случае систем с одной степенью свободы, если Р. с. устойчиво, то при малом возмущении (отклонении) система возвращается к нему, совершая затухающие колебания (на фазовой плоскости такому движению соответствует устойчивый фо-кус - рис. 1, а )или двигаясь апериодически (устойчивый узел - рис. 2, а). Вблизи неустойчивого Р. с. малые отклонения системы нарастают, при этом система совершает колебания (неустойчивый фокус - рис. 1, б )или движется апериодически (неустойчивый узел - рис. 2, б); вблизи седлового Р. с. (рис. 3) возможно вначале приближение к Р. с., а затем уход от него. Наконец, в случае безразлично-устойчивого Р. с. ("центр", рис. 4) малые отклонения приводят к незатухающим колебаниям вблизи Р. с. Для систем с неск. степенями свободы движение системы вблизи Р. с. может быть более сложным и существенно зависит от характера начального отклонения.

Рис. 1. Поведение траекторий в окрестности устойчивого (а) и неустойчивого (б) фокусов; здесь n = 2, =; а < 0 ( а) и а > 0 ( б).

Рис. 2. Траектории в окрестности устойчивого ( а) и неустойчивого (б) узлов; l₂ < l₁ < О ( а), 0 < l₂ <l₁.(6).

Рис. 3. Состояние равновесия типа "седло".

рис. 4. Замкнутые траектории в окрестности точки типа "центр".

Движение динамич. системы вблизи Р. с. чаще всего описывается линеаризов. ур-ниями, имеющими решение в виде сумм экспонент с комплексными (в общем случае) характеристич. показателями l_i- корнями характеристич. ур-ния: det(A-lE)=0, где а Xi - правая часть дифференц. ур-ний, описывающих исследуемую систему:

х _*- решение, отвечающее равновесию, Х(х _*)= 0. Если Rel_k < 0 (Rel_k > 0), то Р. с. асимптотически устойчиво (неустойчиво) и через все точки в окрестности х _* проходят траектории, стремящиеся к x_* при t : , (t : -,),- рис. 1.

Если Rel_k < 0, k=1,..., т,Rel_k> 0, j = = т+ 1, ..., n, то Р. с.- "седло"; траектории, стремящиеся к нему при t : , (t : -,), лежат на устойчивом (неустойчивом) многообразии - многомерной сепаратрисе размерности т (п - т) - рис. 5.

Рис. 5. "Седло" в трёхмерном фазовом пространстве; l₂ < < l₁ < 0, l₃ > 0; W^S- двумерное устойчивое, W^U- одномерное неустойчивое многообразия.

В консервативных (в частности, гамильтоновых) динамич. системах устойчивыми (по Ляпунову) могут быть лишь Р. с. с чисто мнимыми или нулевыми l_k, . Напр., незатухающие колебания шарика в "потенциальной яме" (рис. 4) описываются движением точки по замкнутой траектории в окрестности Р. с. типа "центр", для к-рого

Если динамич. система зависит от параметра, то (даже и в неконсервативном случае) при его изменении Rel_k может обратиться в нуль, и тогда Р. с. может претерпевать бифуркации, связанные с потерей (приобретением) устойчивости или с изменением размерности его сепаратрис (см. также Устойчивость движения).

Лит.: Андронов А. А., Витт А. А., Хай, кин С. 9., Теория колебаний, 3 изд., М., 1981; Бау-тин Н. Н., Леонтович E. А., Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости, М.,

1976; Арнольд В. И,, Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М., 1978..

В. С. Афраймович, М. И. Рабинович.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.