СЛЕДОВАНИЕ

СЛЕ́ДОВАНИЕ

(логическое следо-в а н и е) – отношение между суждениями (высказываниями, предложениями, утвержде-ниями), играющее центр. роль в (дедуктивной) логике: изучение свойств С. в конечном счете породило всю логич. проблематику. Поскольку С. принадлежит к числу фундаментальных, исходных, понятий логики, чрезмерные претензии на "строгую" его дефиницию приводят к кругу в определении. Но понятие С. можно охарактеризовать, с одной стороны, в содержательных, интуитивных терминах, а с другой – "операционально", указанием связи его с др. логич. понятиями.

Чтобы избежать – по крайней мере внешне – тавтологичности такой трактовки С., когда "определяемое" – С. определяют посредством глагола "вытекает" – синонима слова "следует", можно, напр., определить содержательное (семантическое) С. высказывания А из высказывания В как включение области выполнимости А в область выполнимости В (см. Логическая истинность, Модель) или, что равносильно, как включение класса всех (правильных) интерпретаций А в соответствующий класс для В. Конечно, такое сведéние С. суждений к объемным соотношениям между соответствующими им классами истинности (выполнимости) означает по существу отождествление интенсионального и экстенсионального понимания суждений (см. Семантика в логике) и связано, вообще говоря, с принятием ряда постулатов (объемности принципа и, главное, принципа свертывания – см. Принцип абстракции), характерных для теоретико-множеств. трактовки логики (см. Теоретико-множественная логика).

Интуитивные представления о содержат. "С." одних суждений из других в человеч. мышлении предшествуют любой формальной логике; более того, именно эти интуитивные представления вызвали связанную с понятием С. проблематику, так что задача установить параллелизм (или хотя бы какую-нибудь корреляцию) между этим понятием и к.-л. точно определенными с и н т а к с и ч е с к и м и ("операциональными") его аналогами представляется вполне осмысленной. Из таких аналогов в первую очередь необходимо назвать два: логич. связку импликацию, формализующую языковый оборот "если..., то...", и металогич. (см. Металогика) отношение (формальной) в ы в о д и м о с т и (см. Вывод в математической логике). Между этими понятиями существует двоякого рода связь, позволяющая считать их в известном смысле экспликатами понятия С.: 1) если из к.-л. совокупности посылок выводимы (или – при отсутствии посылок – доказуемы) суждение А и импликация A⊃B, то выводимо (соответственно доказуемо) и суждение В (в этом состоит осн. правило вывода логики высказываний – т.н. modus ponens); 2) если из к.-л. множества посылок Г и высказывания (формулы) А выводимо высказывание В, то из Г выводима импликация A⊃B (соответственно с заменой "выводимо" на "доказуемо" при пустом Г; это т.н. теорема о дедукции, справедливая для исчисления высказываний и при нек-рых естественных дополнит. условиях – для исчисления предикатов).

При всей естественности и простоте связи между понятием С., импликацией и формальной выводимостью остается ряд проблем, не снимаемых кратко охарактеризованной выше и ставшей уже классической трактовкой этих понятий. В первую очередь это проблема "С. по смыслу" (интуитивным представлениям о к-ром, очевидно, противоречат т.н. парадоксы импликации: "из лжи следует любое высказывание" и "истина следует из любого высказывания"), а также задача более или менее адекватного уточнения н е д е д у к т и в н ы х модификаций понятия С. Различные видоизменения понятия С., приспособленные к устранению упомянутых и подобных им трудностей, рассматриваются в модальной логике, логике индуктивной, вероятностной логике, а также в эвристике; при этом идеалом в каждом случае остается именно получение точного формального определения, пригодного, в частности, для использования в получающих все больший размах работах по машинному поиску логич. вывода, и вообще во всякого рода "эвристич. программировании". Есть основания полагать, что исчерпывающая экспликация понятия С. в рамках одной логич. системы вообще недостижима и для этой цели может потребоваться и е р а р х и я с и с т е м. См. также Следствие.

Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; Чёрч Α., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960; Карри X. Б., Основания математической логики, пер. с англ., М., 1969; Минц Г. Е., О некоторых исчислениях модальной логики, "Тр. Математич. ин-та АН СССР", 1968, т. 98, с. 88–111; Зиновьев Α. Α., Логика высказываний и теория вывода, М., 1962; Пойа Д., Математика и правдоподобные рассуждения, пер. с англ., т. 1–2, М., 1957; Anderson A. R., Belnap N. D., The pure calculus of entailment, "J. Symb. Logic", 1962, v. 27; Schütte K., Vollständige Systeme der moduler und intuitionistischer Logik, B.–Hdlb.–N. Y., 1968.

Ю. Гастев. Москва.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия. Под редакцией Ф. В. Константинова. 1960—1970.