ВЫПУКЛЫЙ МНОГОГРАННИК


ВЫПУКЛЫЙ МНОГОГРАННИК

выпуклая оболочка конечного числа точек в евклидовом пространстве En. Такой В. м. есть ограниченное непустое пересечение конечного числа замкнутых полупространств. Бесконечным В. м. называют пересечение конечного числа замкнутых полупространств, содержащее по крайней мере один луч, причем уславливаются пространство также считать В. м. В этом смысле В. м. есть замкнутая выпуклая оболочка конечного числа точек и лучей. Размерностью В. м. наз. минимальную размерность содержащего его пространства

В. м. - частный вид выпуклого множества. Как пересечение полупространств В. м. описывается системой линейных неравенств и может быть исследован алгебраическими средствами. Методы минимизации линейных форм на В. м. составляют предмет линейного программирования.

В. м. имеет конечное число граней (пересечений В. м. с опорными гиперплоскостями). Каждая грань В. м. есть В. м. меньшей размерности. Грани граней являются гранями исходного В. м. Одномерные грани наз. ребрами, нульмерные - вершинами. Ограниченный В. м. есть выпуклая оболочка своих вершин.

В теории выпуклых поверхностей В. м. наз. также границу В. м., а иногда (см. [1]) даже часть такой границы. В последнем случае говорят о выпуклом многограннике с краем. В элементарной геометрии принято первоначально определять многогранник как фигуру, специальным образом составленную из многоугольников (см. [2]), а затем выделять В. м. как лежащий по одну сторону от плоскости каждой его грани.

Ограниченный n-мерный В. м. имеет не менее чем вершину. Наиболее просто устроен симплекс, имеющий вершину. Всякий ограниченный В. м. разбивается на симплексы, прилегающие по целым граням.

В евклидовом пространстве есть пять правильных В. м.: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Об их свойствах и аналогах см. Правильные многогранники, Полуправильные многогранники, О В. м. с частными особенностями строения см. Изогоны и изоэдры, Зоноэдры. С правильными разбиениями пространства связаны специальные типы В. м.: стереоэдры, параллелоэдры, планигоны.

Возможные типы строения сети граней В. м. изучены не полностью. Пусть - число k-мерных граней ограниченного га-мерного В. м. Справедливо соотношение Эйлера


имеющее топологич. характер: оно верно для любого разбиения сферы на простые ячейки. При для не образующей двуугольных и самокасающихся ячеек связной сети ребер на сфере найдется В. м. в евклидовом пространстве с таким строением сети (теорема Штейница). При строение сети граней В. м. менее произвольно, чем возможные разбиения сферы (см. [3]). В классе В. м. могут ставиться специфические экстремальные задачи, в условия к-рых входят строение сети граней, число или суммарная длина ребер и т. п. (см. [4]).

Приближение выпуклых тел посредством В. м. является универсальным приемом исследования. Приближением В. м. получены многие результаты теории смешанных объемов, теоремы существования, единственности, устойчивости выпуклых поверхностей с фиксированными данными, развиты геометрич. методы решения Монжа - Ампера уравнения. Эффективность этого метода связана с тем, что В. м. характеризуются конечным числом данных; для В. м. общие теоремы имеют простую формулировку; к В. м. применимы синтетич. приемы исследования.

В связи с теорией поверхностей сформировался большой раздел теории В. м. (см. [1]). В евклидовом пространстве Е 3 два ограниченных В. м., имеющие одинаковые и в одинаковом порядке прилегающие грани, совместимы движением (теорема Коши). В Е n для нек-рых удовлетворяющих соотношению


существует и единствен с точностью до переноса В. м. с единичными внешними нормалями граней и площадями граней (теорема Минковского). Развертка из плоских многоугольников, склеиваемая так, что результат гомеоморфен сфере и вокруг каждой вершины склеиваются углы с суммой , изометрич-на В. м. в , и этот В. м. единствен с точностью до движения (теорема А. Д. Александрова). Два В. м. в совместимы переносом, если ни для одного направления нормали грань Одного В. м. нельзя переносом сделать строгой частью другого. Для выходящих из точки лучей и чисел существует и единствен с точностью до гомотетии В. м. с вершинами на лучах и кривизнами в этих вершинах.

Лит.: [1] Александров А. Д., Выпуклые многогранники, М.-Л., 1950; [2] Тот Л. Ф., Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве, пер. с нем., М., 1958; [3] Энциклопедия элементарной математики, кн. 4, Геометрия, М., 1963; [4] Convex polytopes, L.-N.Y.- Sydney, 1967. В. А. Залгаллер.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ВЫПУКЛЫЙ МНОГОГРАННИК" в других словарях:

  • Выпуклый многогранник — пересечение конечного числа замкнутых полупространств Евклидова пространства. Часто дополнительно предполагается, что выпуклый многогранник ограничен. В этом случае выпуклый многогранник можно также определить как выпуклую оболочку конечного… …   Википедия

  • МНОГОГРАННИК — геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Стороны граней называются ребрами многогранника, а концы ребер вершинами многогранника. По числу граней различают четырехгранники, пятигранники и т.… …   Большой Энциклопедический словарь

  • МНОГОГРАННИК — часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников (см. ГЕОМЕТРИЯ), соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого… …   Энциклопедия Кольера

  • Многогранник — В Викисловаре есть статья «многогранник» …   Википедия

  • многогранник — а; м. Геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками. Правильный м. * * * многогранник геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Стороны граней называются рёбрами… …   Энциклопедический словарь

  • Выпуклый многоугольник — Пентаграмма вписанная в правильный выпуклый пятиугольник: все диагонали лежат внутри Выпуклым многоугольником называется многоугольник, обладающий тем свойством, что все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его… …   Википедия

  • Многогранник —         в трёхмерном пространстве, совокупность конечного числа плоских многоугольников, такая, что каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне); от… …   Большая советская энциклопедия

  • МНОГОГРАННИК — совокупность конечного числа плоских многоугольников такая, что: 1) каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне); 2) от любого из многоугольников,… …   Математическая энциклопедия

  • МНОГОГРАННИК — полиэдр, геом. тело, огранич. со всех сторон плоскими многоугольниками гранями. Стороны граней наз. рёбрами, а концы рёбер вершинами. По числу граней различают 4 гранники. 5 гранники и т. д. М. наз. выпуклым, если он весь расположен по одну… …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • МНОГОГРАННИК — геом. тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, наз. гранями. Стороны граней наз. рёбрами М., а концы рёбер вершинами М. По числу граней различают четырёхгранники, пятигранники и т. д. М, наз. выпуклым, если он весь расположен… …   Естествознание. Энциклопедический словарь

Книги

Другие книги по запросу «ВЫПУКЛЫЙ МНОГОГРАННИК» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.