ВЕРХНИЙ И НИЖНИЙ ПРЕДЕЛЫ

- 1) В. и н. п. последовательности - наибольший, и соответственно, наименьший, предел среди всех частичных пределов (конечных и бесконечных) данной последовательности действительных чисел. Для любой последовательности действительных чисел множество всех ее частичных пределов (конечных и бесконечных) на расширенной числовой прямой (т. е. в множестве действительных чисел, пополненном символами ) не пусто и имеет как наибольший, так и наименьший элементы (конечный пли бесконечный). Наибольший элемент множества частичных пределов наз. верхним пределом (в. п.) последовательности и обозначается

наименьший элемент - нижним пределом (н. п.) н обозначается

Напр., если

то

если

то

если

то

У всякой последовательности существует в. п. (н. п.), при этом, если последовательность ограничена cверху (снизу), то ее в. п. (н. п.) конечен. Для того чтобы число а было в. п. (соответственно н. п.) последовательности необходимо н достаточно, чтобы для любого выполнялись условия: а) существует такой номер , что для всех номеров справедливо неравенство ; б) для любого номера пД существует такой номер , что Условие а) означает существование при любом фиксированном в последовательности лишь конечного числа таких членов , что . Условие б) означает существование бесконечного множества таких членов , что . Понятие н. п. сводится к понятию в. п. с помощью изменения знака у членов последовательности:

Для того чтобы последовательность имела предел (конечный или бесконечный, равный одному из символов ), необходимо и достаточно, чтобы

2) В. п. (н. п.) функции в точке - предел верхних (нижних) граней множеств значений функции в окрестности точки , когда эти окрестности стягиваются к точке . Он обозначается

Пусть функция определена на метрич. пространстве и принимает действительные значения на Если есть -окрестность точки то

соответственно

В каждой точке у функции существуют как в. п. так и н. п. (конечные или бесконечные). Функция полунепрерывна сверху, а функция полунепрерывна снизу на пространстве (в смысле понятия полунепрерывности функций, принимающих значения из расширенной числовой прямой).

Для того чтобы функция в точке имела предел, (конечный или бесконечный, равный одному из символов ), необходимо п достаточно, чтобы

Естественным образом понятие в.. п. (н. п.) функции в точке переносится на действительные функции, определенные на топологич. пространствах.

3) В. п. (н. п.) последовательности множеств множество

состоящее из таких элементов , к-рые принадлежат бесконечному числу множеств ; соответственно, множество

таких элементов , к-рые принадлежат всем множествам , начиная с нек-рого номера . Очевидно,

Лит.:[1] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., т. 1, М., 1971; [2] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 4 изд., М., 1976; ГЗ] Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1, М., 1973: [4] Никольский С. М., Курс математического анализа, т. 1, М., 1973; [5] Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М., 1937. Л. Д. Кудрявцев.