- ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
в теории функций комплексного переменного - положения, выявляющие закономерности изменения отображающих функций при определенных деформациях плоских областей.
Основным качественным В. п. является Линделёфа принцип, к-рый состоит в следующем. Пусть
,-односвязная конечная область в 
-плоскости, имеющая более одной граничной точки, и пусть 
, 
,-линия уровня функции Грина для Bk , т. е. образ окружности 
при однолистном конформном отображении круга 
на область 
, оставляющем неподвижным начало. Пусть далее функция 
, осуществляет однолистное конформное отображение области 
в область 
. Тогда:
1) любой точке
, лежащей на 
, соответствует точка, находящаяся либо на линии уровня 
(это возможно лишь, если 
), либо внутри нее;
2)
однолистное конформное отображение 
на 
(равенство имеет место только в случае 
). Принцип Линделёфа выводится из теоремы Римана о конформном изоморфизме областей и из леммы Шварца. Более тонкие построения позволяют находить поточечные отклонения отображающих функций, вызванные заданной деформацией отображаемых областей.
Основной количественный В. п., полученный М. А. Лаврентьевым [1] (см. также [2]), состоит в следующем. Пусть
, - односвязная конечная область с аналитич. раницей. Пусть имеется семейство областей
, с жордановыми границами 
, 
, где 
равномерно относительно Кдифференцируема по tпри t=0, и пусть 
,-функция, однолистно и конформно отображающая 
на круг 
, а 
- обратная к 
функция при фиксированном t.
Тогда
и равномерно внутри
стремится к 
нулю при 
. В [3] дано распространение этого результата на двусвязные области. При дальнейших ограничениях на области 
удается получить равномерные в замкнутой области оценки остаточных членов в разложении отображающей функции по параметрам, характеризующим деформацию границ рассматриваемых областей (см. [4]).
Лит.:[1] Лаврентьев М. А., "Тр. Физ.-матем. ин-та АН СССР", 1934, т. 5, с. 159-246; [2] Куфарев П. П., "Матем. сб.", 1943, т. 13(55), № 1, с. 87-118; [3] Александров И. А., "Сиб. матем. ж.", 1963, т. 4, № 5, с. 961-76; [4] Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 3 изд., М., 1965.
И. А. Александров.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
