- ЧИСЕЛ ТЕОРИЯ
вероятностная - в широком смысле раздел теории чисел, в к-ром используются идеи и методы теории вероятностей.
Под вероятностной Ч. т. в узком смысле понимается статистич. теория распределения значений арифметических функций.
Подавляющее большинство арифметич. функций, изучаемых в теории чисел, являются аддитивными или мультипликативными, их значения обычно распределены очень сложно. Если проследить за изменением значении таких функций, когда аргумент пробегает последовательные натуральные числа, получится весьма хаотическая картина, к-рая обычно наблюдается при рассмотрении аддитивных свойств целых чисел совместно с мультипликативными. В классич. исследованиях при рассмотрении распределения значений действительных арифметич. функций f(m)обычно изучалось асимптотич. поведение самой функции f(т) или ее среднего значения. В первом случае ищутся простые функции
чтобы было 
для всех тили хотя бы для всех достаточно больших т. Напр., если 
означает число всех различных простых делителей числа т, то 
для всех т>1, 
при 
Во втором случае рассматривается поведение
Для
среднее значение (1) равно (1+о(1) ln lnn). Решение как первой, так и второй задачи в общем случае дает мало информации о поведении функции f(m), об ее колебаниях. Функция может значительно отклоняться от своего среднего значения. При этом оказывается, что большие отклонения встречаются вообще довольно редко. Ставится задача отыскания границ, в к-рых могут колебаться значения функции f(m)для подавляющего большинства значении аргумента.
Если f(m) - действительная аддитивная арифметич. функция,
где суммы берутся по простым числам . ипо степеням простых чисел
то 
где с - абсолютная константа. Следовательно, для любого t>0 и всех
за исключением 
чисел, имеет место неравенство 
(аналог теоретико-вероятностного больших чисел закона). Для функции
это неравенство можно записать в виде 
Пусть через Nn(. . .) обозначено число натуральных
удовлетворяющих условиям, к-рые будут указываться в скобках вместо многоточия. Желая более точно охарактеризовать распределение значении действительных арифметич. функций f(т), приходят к рассмотрению асимптотич. поведения частоты 
при
где Е - любое борелевское множество. Среди асимптотич. законов для (3) наибольший интерес представляют законы двух типов: интегральные и локальные.
Интегральные законы. Изучается асимптотич. поведение функции распределения
при 
и ладанных С п, Dn.
В случае арифметических аддитивных функции ищутся условия, при к-рых Fn(Cn+Dnx) стремится к нек-рой функции распределения F(х)во всех ее точках непрерывности. При этом, если F(х)нe вырождены, то Dn обязательно должно стремиться к конeчному (отличному от 0) или бесконечному пределу.
В случае конечного предела достаточно ограничиться рассмотрением Fn(Cn+x). Для того чтобы Fn(Cn+x) с какими-либо С n при
имела невырожденное предельное распределение, необходимо и достаточно, чтобы f(т) имела вид 
где а - константа, а функция g(m)удовлетворяет условиям 
При этом С n должны быть равными
С - константа. Выбор С п однозначен с точностью до слагаемых C+o(l). Предельное распределение является дискретным, когда
и непрерывным в противном случае.
В частности, Fn(x)(случай С n=0) тогда и только тогда имеет предельное распределение, когда сходятся ряды
(аналог теоретико-вероятностной теоремы о трех рядах).Случай
не исследован до конца. Ниже приведены нек-рые наиболее простые результаты, когда С п=А п и Dn= Bn определены формулами (2).
Если для всякого фиксированного
при
(аналог условия Линдеберга, см. Линдеберга - Феллера теорема), то 
(нормальный закон). Если выполнено (4), то В п является медленно меняющейся функцией от ln. в смысле Карамата. Более того, если Bn является такой функцией, то для справедливости (5) условие (4) является необходимым.
Пусть Bn является медленно меняющейся функцией от ln п. Для того чтобы Fn( А п+ В п х )сходилась к предельному распределению с дисперсией 1, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая неубывающая функция
что при
для всех и, за исключением, быть может, u=0, 
Характеристич. функция j(t) предельного закона в случае его существования определяется формулой
Изучается быстрота сходимости к предельному закону. Так, напр., если f(т)- сильно аддитивная функция и
при
то 
равномерно по x.
Для мультипликативных арифметич. функций имеют место аналогичные результаты.
Локальные законы. Изучается поведение при
частоты 
при заданных с. В случае действительных аддитивных арифметич. функций эта частота всегда имеет предел, к-рый отличен от 0 лишь для не более чем счетного множества значений с. Пусть 
- не равные нулю пределы, причем хотя бы один такой предел существует. Тогда
и
Если f(т) принимает лишь целые значения,
то 
тогда и только тогда, когда 
Изучается скорость сходимости к
Существует такая абсолютная константа С, что для всех целых kи всех целозначных аддитивных арифметич. функций f(т) с условием f(р)=0 для всех простых р 
Изучается также асимптотич. поведение частоты
когда kn может расти вместе с п. Лит.:[1] Кац М., Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел, пер. с англ., М., 1963; [2] Кубилюс Й. П., Вероятностные методы в теории чисел, 2 изд., Вильнюс, 1962; [3] его же, в сб.: Актуальные проблемы аналитической теории чисел, Минск, 1974; [4] Линник Ю. В., Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах, Л., 1961; [5] eго же, Эргодические свойства алгебраических полей, Л., 1967; [6] Постников А. Г., Эргодические вопросы теории сравнений и теории диофантовых приближений, М., 1966; [7] Elliоtt P. D. T. A., Probabilistic number theory, v. 1-2, N.-Y.- Hdlb.- В., 1979-80.
Я. П. Кубилюс.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
