- ФРЕДГОЛЬМА ЯДРО
1) Ф. я.- функция К( х, у), определенная на
и порождающая вполне непрерывный оператор
где
- измеримое множество в n-мерном евклидовом пространстве, а Е, Е1 - нек-рые функциональные пространства. Оператор (*) наз. интегральным оператором Фредгольма из Ев Е 1. Важным классом Ф. я. являются измеримые на
функции К( х, у )такие, что
Ф. я., удовлетворяющее этому условию, наз. также L2 -ядром.
Ф. я. иаз. вырожденным, если оно представляет сумму произведений функции только от хна функцию только от у:Если для почти всех
имеет место равенство К( х, у) =К( у, х), то Ф. я. наз. симметричным, а если
- эрмитовосимметричным (здесь черта означает переход к комплексно сопряженному значению). Ф. я. К( х, у )наз. кососимметричным, если
Ф. я. К( х, у )и К( у, х )наз. транспонированными или союзными, а ядра К( х, у )и- сопряженными.
Лит.:[1] Смирнов В. И., Курс высшей математики, 6 изд., т. .4, ч. 1, М., 1974.
Б. В. Хведелидзе.2) Ф. я. - двухвалентный тензор, порождающий оператор Фредгольма. Пусть Еи F-локально выпуклые пространства,
- пополнение тензорного произведения
этих пространств в индуктивной топологии, т. е. в самой сильной локально выпуклой топологии, при к-рой непрерывно каноническое билинейное отображение
Элемент
наз. Ф. я., если он может быть представлен в виде
где
-суммируемая числовая последовательность, а { е i}и {fi} - последовательности элементов нек-рых полных выпуклых закругленных ограниченных множеств в Еи Fсоответственно. Пусть Есовпадает с сопряженным пространством G' к нек-рому локально выпуклому пространству G. Тогда Ф. я. порождает оператор Фредгольма
имеющий вид
где <x, е i> - значение функционалана элементе
Если Еи F - банаховы пространства, то любой элемент из
является Ф. я.
Понятие Ф. я. допускает обобщение и на случай тензорного произведения нескольких локально выпуклых пространств. Ф. я. и операторы Фредгольма составляют естественную область применения теории Фредгольма.Лит.:[1] Гротендик А., лМатематика
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.