- ТИПИЧНО ВЕЩЕСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ
в области В- функция f(z), аналитическая в нек-рой области Вплоскости z, содержащей отрезки вещественной оси, если она вещественна на этих отрезках и Im f(z)x Im z>0 при
Основной класс Т. в. ф.- класс Тфункций
регулярных и типично вещественных в круге |z|<l (см. [1]). Из определения класса Тследует, что с п,
вещественны. Класс Тсодержит класс Sr функций
с вещественными коэффициентами с п, регулярных и однолистных в |z|<l. Еслито
и, обратно, еслито
где С r - класс функцийрегулярных в
в |z |<1, и таких, что
вещественны.
Пусть М 1 - класс функций
неубывающих на [-1, 1] и таких, что
Класс Тпредставим в |z|<l интегралом Стилтьеса (см. [2]):
в том смысле, что для каждой функции
найдется функция
такая, что справедлива формула (1), и, обратно, какую бы
ни взять, формула (1) определяет нек-рую функцию
при любом фиксированном
Наибольшей областью, в к-рой все функции класса Тоднолистны, является
Исходя из представления (1) на классе Тбыл получен ряд теорем искажения и вращения (см. Искажения теоремы, Вращения теоремы). Для класса Тсправедливы точные оценки:
если nнечетно
знак равенства в (2) слева достигается только для s(z, -1), справа - только для s(z, 1), в (3) слева - только для функций
при нек-ром
справа - только для
На классе Тнайдены области значений систем {с 2, c3, .. ., с n}, {f(z)}, {f(z), с 2, с 3, . . ., с п},(см. [3], с. 589-90).
Лит.:[1] Rogosinski W., лMath. Z.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.