ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ

- обобщение векторного анализа, раздел тензорного исчисления, изучающий дифференциальные операторы, действующие на алгебре тензорных полей D(М)дифференцируемого многообразия М. Рассматриваются также операторы, действующие на более общие, чем тензорные поля, геометрич. объекты: тензорные плотности, дифференциальные формы со значениями в векторном расслоении и т. д.
Наибольший интерес представляют операторы, действие к-рых не выводит за пределы алгебры D(М).

1) Ковариантная производная вдоль векторного поля X - линейное отображение пространства векторных полей D¹ (М)многообразия М, зависящее от векторного поля Xи удовлетворяющее условиям:

где - гладкие функции на М. Определяемые этим оператором связность Ги параллельное перенесение позволяют распространить действие ковариантной производной до линейного отображения алгебры D(М) в себя; при этом отображение есть дифференцирование, сохраняет тип тензорного поля и перестановочно со сверткой.
В локальных координатах и ¹, и², . . ., и ⁿ ковариантная производная тензора с компонентами относительно вектора определяется так:

- объект связности Г. 2) Ли производная вдоль векторного поля X - отображение L_X пространства D'(M), определяемое формулой где [X, Y] - коммутатор векторных полей X, Y. Этот оператор также однозначно продолжается до дифференцирования D(M), сохраняет тип тензоров и перестановочен со сверткой. В локальных координатах производная Ли тензора

выражается так:

3) Внешний дифференциал (внешняя производная) - линейный оператор d, сопоставляющий внешней дифференциальной форме (кососимметричному ковариант-ному тензору) степени рформу такого же вида и степени р+1, удовлетворяющий условиям:

где - символ внешнего произведения, r - степень В локальных координатах внешняя производная тензора выражается так:

Оператор d- обобщение оператора rot.

4) Кривизны тензор симметричного невырожденного дважды ковариантного тензора g_ij представляет собой действие нек-рого нелинейного оператора R:

где

Лит.:[1] Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; [2] Схоутен Я.-А., Тензорный анализ для физиков, пер. с англ., М., 1965; [3] Мак-Коннел А. <Д., Введение в тензорный анализ, пер. с англ., М., 1963; [4] Сокольников И. С., Тензорный анализ, пер. с англ., М., 1971.
К. М. Белов.