СУЩЕСТВЕННО НЕРАЗРЕШИМАЯ ТЕОРИЯ

алгоритмически неразрешимая логическая теория, все непротиворечивые расширений к-рой также неразрешимы (см. Неразрешимость). Элементарная теория является С. н. т. тогда и только тогда, когда всякая ее модель имеет неразрешимую элементарную теорию. С. н. т. является всякая полная неразрешимая теория, арифметика формальная;всякая теория, имеющая конечную модель, не является С. н. т.
Существенная неразрешимость подходящей конечно аксиоматизируемой элементарной теории Sчасто используется при доказательстве неразрешимости данной теории Т(см. [4], [2]). При таком доказательстве теория Sинтерпретируется в какой-либо модели Мтеории Т. Область интерпретации и значения элементов сигнатуры теории Sопределяются с помощью значений в модели . подходящих формул в языке теории Т. Если построенная интерпретация является моделью теории S, то теория Тнеразрешима; более того, эта теория наследственно неразрешима, т. <е. неразрешима всякая ее подтеория той же сигнатуры, что и Т. Таким методом может быть доказана неразрешимость элементарной логики предикатов, элементарной теории групп, элементарной теории полей и т. п. В качестве С. н. т. Sчасто берут конечно аксиоматизированную формальную арифметику.

Лит.:[1] Таrski А., Моstоwski A., Robinsоn R. M., Undecidable theories, Amst., 1953; [2] Ершов Ю. Л. [и др.], лУспехи матем. наук