БЛИЗОСТИ ПРОСТРАНСТВО

множество Рс бинарным отношением на множестве всех его подмножеств, удовлетворяющее следующим аксиомам:

1) равносильно (симметричность);

2) равносильно или (аддитивность);

3) равносильно (рефлексивность). Отношение определяет близостную структуру, или просто близость, на Р; при этом, если , то Аи Вназ. близкими множествами, а если ( означает отрицание ),- то далеким и. Б. п. введены в 1936 (опубликовано в 1951, см [1]). Свойства Б. п. являются обобщением равномерных свойств метрич. пространства аналогично тому, как в топологич. пространстве обобщаются его непрерывные свойства. Попытка введения структуры, до нек-рой степени аналогичной близостной, была предпринята в [3], когда еще не вполне оформилось понятие топологич. пространства, и вместо замыкания рассматривалось производное множество: введенное там отношение между множествами соответствовало у них общей (быть может, "идеальной") точки прикосновения.

Более содержательны понятия близости, удовлетворяющие, кроме 1) - 3), дополнительным аксиомам, аналогичным аксиомам отделимости; такова, напр., хаусдорфова близость, к-рая удовлетворяет аксиоме: равносильно (при этом вместо 3) достаточно принять ее следствие: ); нормальная близость, характеризующаяся аксиомой: если , то существуют непересекающиеся подмножества такие, что

Появление аксиом Б. п., естественно симметризующих аксиомы топологич. пространства, сформулированные в терминах замыкания (т. е. близости множества и точки), стало возможным после того, как было установлено, что свойство отображений метрич. пространств, состоящее в том, что любые множества, лежащие в на нулевом расстоянии, имеют в образы, также расположенные бесконечно близко, в точности эквивалентно равномерной непрерывности. (Аналогичное топологич. свойство - замыкание К, иногда принимается за определение непрерывности.) Таким образом, всякая метрика dist на множестве Рпорождает близость на нем: эквивалентно , причем -непрерывность в смысле последней эквивалентна равномерной непрерывности [2]; Б. п., для к-рых такая метрика возможна, наз. метризуемыми. Близостная структура порождает топологич. структуру: замыкание множества Копределяется следующим образом: тогда и только тогда, когда при этом из -непрерывности отображения вытекает его непрерывность в этой топологии. Б. п., порождающие одну и ту же топологию, не обязательно -изоморфны: так, плоскости Евклида и Лобачевского не -изоморфны, хотя и гомеоморфны [2]. Топология хаусдорфовых близостей хаусдорфова; напротив, из близостной нормальности следует лишь полная регулярность: замкнутые непересекающиеся множества не обязательно далеки. Более того, всякая вполне регулярная топология порождается нормальной близостью, причем бикомпактная - единственной. Поскольку произвольные далекие множества в Б. п. можно отделить d-непрерывной функцией [2], они функционально отделимы в смысле его топологии; те Б. п., для к-рых верно обратное, наз. пространствами близости Стоуна - Чеха.

С наличием топологии в Б. п. связаны нек-рые обобщения близостной структуры, к-рые обычно сводятся к замене аксиомы нормальности какой-либо более слабой. Таковы, напр., близость Лодато: если ,то ; близость Федорчука ( -близость): равносильно существованию открытого , для к-рого внутренность замвшания совпадает с Л и притом ; и т. д.

Естественность понятия Б. п. проявляется еще и в том, что всякое Б. п. имеет бикомпактное расширение и притом единственное; таким образом, гомеоморфные Б. п. взаимно однозначно соответствуют бикомпактным расширениям порождаемого ими топологич. пространства, -непрерывное отображение, т. е. такое отображение , что для любых из следует и только оно продолжается в непрерывное отображение бикомпактных расширений. Высказанные утверждения, впервые сформулированные в терминах Б. п. в [4], были доказаны, по существу, еще в 1948 П. Самюэлем (P. Samuel). При изучении компактификаций равномерных пространств им было установлено [10],что не всякие, а только нек-рые равномерные пространства (так наз. прекомпактные - пространства с бикомпактными пополнениями) можно равномерно непрерывно вложить в бикомпакт, однако для каждого равномерного пространства существует единственное бикомпактное расширение (S-рефлексия) (обратное отображение лишь непрерывно, но не равномерно непрерывно), причем на это расширение можно продолжить все окружения нек-рого типа, напр., все окружения вида Таким образом, равномерные структуры разбиваются на классы эквивалентности, - две равномерности эквивалентны, если они имеют одну и ту же S-рефлексию. Близость в равномерном пространстве вводится условием: , если для любого окружения имеет место построенное вложение, равно как и указанная эквивалентность, есть -изоморфизм, т. е. взаимно однозначное и -непрерывное отображение.

Взаимно однозначное соответствие между близостями и компактификациями привело к тому, что в течение довольно длительного времени после обнаружения факта старались Исследовать главным образом те свойства этих пространств, к-рые формулируются непосредственно в терминах бикомпактных расширений. Таковы, напр., размерности (но не ) [6], близостный вес, близостная связность и т. п. На простое свойство близостной связности, т. е. свойство: из следует , обратил внимание еще Г. Кантор (G. Cantor), к-рый определил континуум (не путать с введенным позже канторовым континуумом!) как близостно связное полное подпространство в . Хотя, в принципе, все свойства Б. п. Рзаключены в свойствах инъекции все они, во-первых, отнюдь не обязательно заключены в свойствах самого во-вторых, не известно, каким именно особенностям инъекции соответствуют такие свойства , как, напр., метризуемость, полнота, правильность. Б. п. ценны именно тем, что с их помощью можно изучать компактификаций, но не наоборот. Свойства Б. п., не описываемые непосредственно в топологич. терминах, наз. равномерными. Первым систематически изученным равномерным свойством Б. п. явилась полнота: попытки ввести фильтры Коши или фундаментальные последовательности в терминах бикомпактных расширений не увенчались успехом.

Покрытие наз, равномерным покрытием Б. п. Р, если с него начинается измельчающаяся последовательность звездно вписанных покрытий (т. е. ), причем ни одно из них не разрывает близких множеств, т. е. всегда .

Множество равномерных покрытий В.. п. совпадает с объединением всех равномерных структур, совместимых с этим пространством [4]. Можно также определить равномерные покрытия как прообразы при всевозможных 6-непрерывных отображениях в метрич. пространства покрытий, имеющих положительное лебегово число.

Полнота, определенная с помощью фильтров Коши - таких фильтров , что для любого равномерного покрытия , - соответствует интуитивным представлениям и совпадает с метрической для метризуемых пространств. Для полноты Б. п. достаточно, чтобы какое-либо из совместимых с ним равномерных пространств было полным. Неизвестно (1977), необходимо ли это условие; во всяком случае, контрпримеры могут доставляться только неправильными (см. ниже) Б. п. Построены [5]пополнения Б. п. как наименьшие (уже не единственные) полные расширения; одновременно пополнения суть наибольшие расширения, на к-рые продолжаются все равномерные покрытия в виде равномерных же покрытпй, а также все -непрерывные отображения в полные Б. п. (другими словами, подкатегория полных Б. п.- наряду с подкатегорией бикомпактных пространств - рефлексивная категория). Пространства с бикомпактными пополнениями (т. е. прекомпактные пространства) характеризуются тем, что из каждого их равномерного покрытия можно выбрать конечное равномерное подпокрытие.

Произведение Б. п. первоначально вводили, индуцируя на теоретпко-множественное произведение близость из топологич. произведения их бикомпактных расширений. Такое произведение, несмотря на то, что оно идентично с произведением в смысле категории Б. п., все же неудовлетворительно геометрически и пригодно главным образом для построейия экзотических примеров: так, это произведение (обозначаемое обычно ) двух бесконечных дискретных пространств иедискретно и даже неметризуемо, двух прямых линий - неметризуемо п анизотропно: поворот получившейся "плоскости" на острый угол не будет 6-изоморфпз-мом, и т. п.

Близостным произведением двух (и аналогично любого числа) Б. п. Рп Q наз. произведение, наделенное грубейшей близостью [7], в к-рой равномерны все декартовы произведения равномерных покрытий факторов, т. е. все покрытия вида Требование -непрерывности обеих проекций эквивалентно аналогичному условию лишь для конечных равномерных покрытий. Для равномерных пространств, в отличие от Б. п., оба определения эквивалентны, так как подкатегория метрич. пространств не замкнута относительно декартова произведения в категории Б. п., хотя замкнута в категориях топологических и равномерных пространств. Близостное произведение можно понимать как естественное распространение функтора произведения с подкатегории метризуемых Б. п. на все Б. п., т. е. близость произведения представляет собой грубейшую близость, в к-рой -непрерывность любого отображения - метрич. пространства, следует из -непрерывности обоих отображений если под понимать обычное произведение метрич. пространств [7].

Незамкнутость подкатегории метрич. пространств приводит к непривычному, но неизбежному следствию: "вектор-функция" , у к-рои обе "координатные" функции -непрерывны, не обязательно б-непрерывна (причем безразлично, что понимается под Аи В:произвольные Б. п. или только метрпзуемые), лишь бы произведение метрич. пространств понималось в обычном смысле. Те Б. п., для к-рых указанного явления не происходит, наз. правильными. Правильные Б. п. можно определять также, как такие, у к-рых проекция диагонали в является -изоморфизмом. В правильных Б. п. и только в них пересечение двух равномерных покрытий снова есть равномерное покрытие, и совокупность всех таких пересечений является равномерностью [7].

Для произвольного Б. п. Р имеется грубейшее правильное пространство , мажорирующее Р,- так наз. поправление. Поправление является в то же время тончайшим Б. п., на к-рое продолжаются любые отображения вида , где М- метризуемо (т. е. отображение -непрерывно, если отображение -непрерывно). Утверждение остается верным, если Мзаменить на произвольное правильное Б. п. Q;таким образом, множества -непрерывных отображений находятся в естественном взаимно однозначном соответствии, т. е. подкатегория правильных Б. п. корефлективна, а функтор "!" является корефлектором. Метризуемые Б. п. правильны (и проекция - гомеоморфизм), подкатегория метрич. пространств замкнута относительно декартова произведения в категории правильных пространств. Кроме метрических, правильны прекомпактные пространства, более того, утверждение: если для всех следует ,- эквивалентно прекомпактности Р.

Поправления произведении совпадают: Таким образом, произведение почти всегда неправильно, поскольку совпадение имеет место тогда и только тогда, когда один из факторов прекомпактен; неизвестно (1977), правильно ли произведение правильных Б. п.

Теория размерности Б. п. имеет нек-рые особенности. Прежде всего, для Б. п. рассматриваются две размерности "по покрытиям" (определенные аналогично топологич. размерности dim, но с использованием конечных или, соответственно, произвольных равномерных покрытий), и только одна индуктивная размерность Ind, аналогичная размерности Ind, с заменой непересекающихся множеств на далекие [11]. Однако близостный аналог перегородки нетривиален: множество Н"освобождает" далекие множества А п В, если и из следует , причем Нет примера (1977) несовпадения хотя бы каких-нибудь двух из этих трех размерностей. Размерность конечно аддитивна, и ; если плотно в , то . Размерность не меньше размерности и тоже не может уменьшаться при переходе к плотному подпространству, хотя неизвестно (1977), может ли она при этом увеличиваться; при переходе к пополнению она сохраняется. Для метризуемых пространств , в произвольном пространстве выполнено либо , либо . Построено несколько примеров равномерных пространств с несовпадающими размерностями, но ни одна из этих конструкций не верна для Б. п. В близостном произведении , где дискретно и счетно, совпадение размерностей и происходит в том и только в том случае, когда это Б. п. правильно [8]. Одновременно из неправильности следует нарушение монотонности для (так как Dd (N х N) = 0).

Лит.:[1] Ефремович В. А., "Докл. АН СССР", 1951, т. 76, с. 341-3; [2] его же, "Матем. сб.", 1952, т. 31, № 1, с. 189-200; [3] Riesz P., "Atti del IV Congresso Jntern. del Matem. Roma, 1908", v. 2, Roma, 1909, p. 18-24; [4] Смирнов Ю. М., "Матем. сб.", 1952, т. 31, № 3, с. 543-74; [5] его ж е, "Тр. Моск. матем. об-ва", 1954, т. 3, с. 271-306; 1955, т. 4, с. 421-438; [6] его же, "Матем. сб.", 1956, т. 38, № 3, с. 283-302; [7] Поляков В. 3., "Матем. сб.", 1965, т. 67, Кг 3, с.428-39; [8] его же, там же, 1965, т. 68, №2, с. 242-50; [У] его же, там же, 1968, т. 76, № 4, с. 593-604; [10]Samuel P., "Trails. Amer. Math. Soc." 1948, v. 64, p. 100-32; [11] Isbell J.r "Pacif. J. Math.", 1959, v. 9, p. 107-21. В. <З. <Поляков.