БИРКГОФА - ВИТТАТЕОРЕМА

Пуанкаре- Биркгофа- Витта теорема,- теорема о представимости алгебр Ли в ассоциативных алгебрах. Пусть G - алгебра Ли над полем - ее универсальная обертывающая алгебра, - базис алгебры G, линейно упорядоченный нек-рым образом. Тогда всевозможные конечные произведения ba _r , где образуют базис алгебры и, таким образом, канонич. гомоморфизм: является мономорфизмом.

Из всякой ассоциативной алгебры Rможет быть построена алгебра Ли заменой операции умножения в Л на операцию коммутирования

В.- В. т. иногда формулируют следующим образом: для всякой алгебры Ли Gнад любым полем k существует такая ассоциативная алгебра R над этим, же полем, что Gизоморфно вкладывается в L(R).

Первый вариант этой теоремы был получен А. Пуанкаре [1]. Более полное доказательство позднее дано Э. Виттом [2] и Г. Биркгофом [3]. Утверждение теоремы остается верным, если k - область главных идеалов [4], в частности для колец Ли без операторов, но в общем случае - для алгебр Ли с произвольной областью операторов - утверждение теоремы не верно [5].

Лит.:[i] Poincare H., "Cambrige Phil. Trails.", 1900, т. 18, p. 220-5; [2] Witt E., "J. reine und angew. Math.", 1937, Bd 177, №3, S. 152-60; [3] Birkhoff G., "Ann. Math.", 1937, v. 38, № 2, p. 526-32; [4] Lazаrd M., "Compt. rend. Acad. Sci.", 1952, v. 234, № 8, p. 788-91; [5] Ширшов А. И., "Успехи матем. наук", 1953, т. 8, в. 5, с. 173-5; [6] Кон П., Универсальная алгебра, пер. с англ., М., 1968; [7] Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973; [8] Серр Ж.-П., Алгебры Ли и группы Ли, пер. с англ, и франц., М., 1969; [9] Картан А., Эйленберг С., Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960. Т. С. Фофанова.