- СЖАТИЕ
алгебры Ли, стягивание алгебры Ли,- операция, противоположная деформации алгебры Ли. Пусть
- конечномерная вещественная алгебра Ли,
- набор ее структурных констант в фиксированном базисе е 1, . . ., е n и А (t),
,- кривая в группе невырожденных линейных преобразований пространства
такая, что А(1)=Е. Пусть
и
- структурные константы алгебры
в базисе
. Если
при
стремятся к нек-рому пределу
, то алгебра
, определяемая этими константами в исходном базисе, наз. сжатием исходной алгебры
. Сжатие
также является алгеброй Ли, причем
можно получить путем деформации алгебры
. Если
- алгебра Ли группы Ли G, то группу Ли
, соответствующую
также наз. сжатием группы G.
Хотя
эти алгебры, вообще говоря, не изоморфны: напр., если A(t)=tE, то
, так что при таком С. предельная алгебра всегда коммутативна. Естественное обобщение этого примера состоит в следующем: пусть
- подалгебра в
- дополнительное к
подпространство, причем
, и A(t)v=v для
для
. Тогда в пределе
становился коммутативным идеалом алгебры
, в то время как умножение в
и присоединенное действие алгебры
на
остаются неизменными.
В частности, пусть G - группа Лоренца,
- ее алгебра Ли,
- подалгебра, соответствующая подгруппе вращений 3-мерного пространства. Тогда описанное С. алгебры
дает алгебру Ли группы Галилея
(см. Галилея преобразование, Лоренца преобразование). Соответственно алгебра Лоренца является деформацией алгебры Галилея и можно показать, что комплексификация алгебры Галилея других деформаций не имеет; в вещественном случае алгебру Галилея можно получить также С. ортогональной алгебры Ли so(4). Эквивалентный способ получения алгебры Галилея из алгебры Лоренца состоит в том, чтобы определить алгебру Лоренца как алгебру, сохраняющую форму Минковского x2+y2+z2 -с 2t2, и затем устремить скорость света ск
. Пока
, возникающие алгебры изоморфны
. Аналогично, деформируя алгебру Пуанкаре (неоднородную алгебру Лоренца), можно получить алгебры де Ситтера so (4,1) и so (3,2) движений пространства постоянной кривизны. Соответственно, устремляя кривизну к 0, получают группу Пуанкаре как С. групп де Ситтера.
Связь между этими алгебрами продолжается на представления. Если, как в описанных примерах, существует матрица
, то каждое представление Sалгебры
порождает представление
сжатой алгебры по формуле
для любого
Обратная операция (деформация представлений), вообще говоря, невозможна.
Лит.:[1] Б а р у т А., Р о н ч к а Р., Теория представлений групп и ее приложения, пер. с англ., т. 1, М., 1980; [2] I n о n u Е., W i g n е r Е. P., "Proc. Nat. Acad. Sci. USA", 1953, v. 39, p. 510-24; [3] S a 1 e t a n E. J., "J. Math. Phys.", 1961, v. 2, p. 1-22. А. К. Толпыго.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.