СЕМАНТИКА

в математической логике - исследование интерпретаций логического исчисления, формальной аксиоматич. теории; изучение смысла и значения конструкций формализованного языка теории, способа понимания его логич. связок и формул. С. уделяет внимание возможности точного описания и определения таких понятий, как "истина", "определимость", "обозначение", по крайней мере применительно к точно описанным языкам. В несколько более узком смысле под С. формализованного языка понимают систему соглашений, определяющих понимание формул языка, задающих условия истинности этих формул.

С. логич. связок в классической и интуиционистской логике носит э к с т е н с и о н а л ь н ы й характер, т. <е. истинность сложного высказывания определяется только характером истинности составляющих его высказываний. В иных классич. логиках, напр, релевантных, может учитываться и смысловое содержание понятий (такие логики наз. интенсиональными). В такого рода логиках, напр., не обязательно, чтобы все истинные высказывания были эквивалентны.

Построение четкой С. достаточно сложных формализованных языков типа языков аксиоматической теории множеств является трудной проблемой. Это связано по существу с тем, что процесс абстрагирования в математике является весьма сложным и многоступенчатым с привлечением таких глубоких и неочевидных абстракций, как абстракция актуальной бесконечности или абстракция потенциальной осуществимости. В результате объем объектов исследования в математике, способы обращения с этими объектами и способы доказательства утверждений относительно таких объектов, как множества произвольной природы, становятся весьма неопределенными. При неосторожном обращении с принципами доказательства в рамках теории возникают антиномии,напр. парадокс Рассела в теории множеств. В такой ситуации приходится отказываться от построения исчерпывающей и интуитивно убедительной С. языка и ограничиваться формулировкой нек-рых семантич. соглашений. При формализации теории при этом стремятся, чтобы правила вывода полученного исчисления были корректны по отношению к этим соглашениям, т. е. при применении к верным формулам вновь давали верные формулы. Полученная формальная система может уже изучаться в рамках нек-рой метатеории с более ясной С.

Часто семантич. понятия для нек-рого языка могут быть точно сформулированы в рамках более богатого языка, играющего для первого роль метаязыка. Напр., средствами теории множеств можно дать строгое математич. определение (классической) истинности формулы данного языка 1-го порядка на алгебраич. системе. Это понятие является основным в моделей теории. С другой стороны, как показал Л. Тарский (A. Tarski, 1936), для достаточно богатых теорий их истинность не может быть выражена на языке самой теории.

Широко изучаются С. неклассич. теорий, напр, математич. теорий, развиваемых в рамках интуиционизма. Роль моделей в таких исследованиях играют алгебраич. структуры, учитывающие неклассич. характер понимания логич. связок. Таковы, напр., Крипке мо дели, реализуемость по Клини, ступенчатая семантическая система А. А. Маркова.

Лит.:[1] К а р н а п Р., Значение и необходимость пер. с англ., М., 1959; [2] Ч ё р ч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., М., 1960; [3] К л и н и С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; [4] Д р а г а л и н А. Г., Математический интуиционизм. Введение в теорию доказательств, М., 1979; [5] Ф е й с Р., Модальная логика, пер. с англ., М., 1974. А. <Г. Драгалин.