- СВОБОДНОЕ МНОЖЕСТВО
в векторном пространстве Х над полем K - то же, что линейно независимая система векторов из X, т. е. множество элементов
, такое, что соотношение
, где
для всех кроме конечного числа индексов t,влечет
для всех t. Несвободное множество наз. также з а в и с и м ы м.
С в о б о д н о е м н о ж е с т в о в топологическом векторном пространстве X над полем К(топологически свободное множество) - множество
такое, что для любого
замкнутое подпространство, порожденное точками
, не содержит а s. Топологически С. м. является С. м. векторного пространства; обратное неверно. Напр., в нормированном пространстве Снепрерывных функций на [0, 1] функции
, образуют топологически С. м. в отличие от функций
(поскольку хсодержится в замкнутом подпространстве, порожденном
).
Совокупность всех (топологически) С. м. в X, вообще говоря, не индуктивна относительно включения; кроме того, она не обязательно содержит максимальное топологически С. м. Напр., пусть X - пространство над
, образованное непрерывными функциями и наделенное отделимой топологией: соответствующая фундаментальная система окрестностей нуля в Xсостоит из уравновешенных поглощающих множеств
всюду вне (зависящего от f) открытого множества меры
. Тогда каждый непрерывный линейный функционал равен нулю и в Xне существует максимального С. м.
Для того чтобы Абыло (топологически) С. м. в ослабленной топологии s( Х, X* )в X, необходимо и достаточно, чтобы для каждого t существовал элемент
такой, что
для всех
Для локально выпуклого пространства С. м. в ослабленной топологии является С. м. и в исходной топологии.
М. И. Войцеховский.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.