РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ МНОГОМЕРНОЕ

- распределение в n-мерном единичном кубе i=1,2, .... п, дробных долей последовательности точек n-мерного евклидова пространства , j-1, 2, ... . Здесь { } - знак дробной доли.

Последовательность дробных долей {P_j}, j=1, 2, ... , наз. р а в н о м е р н о р а с п р е д е л е н н о й в единичном n-мерном кубе Е, если для каждого прямоугольника V, содержащегося в E, имеет место равенство

где j_m,(V)- число точек среди первых тчленов последовательности {P_j}, попавших в V, и - мера прямоугольника V.

Последовательность Р _j, j=1, 2, ... , точек n-мерного пространства наз. р а в н о м е р н о р а с п р е д ел е н н о й п о м о д у л ю 1, если соответствующая ей последовательность дробных долей {P_j}равномерно распределена в единичном кубе Е .

Критерий Вейля для Р. д. д. м. Последовательность {P_j}, j=1, 2, ... , равномерно распределена в единичном кубе Етогда и только тогда, когда

для каждого набора целых чисел (а ₁, a₂, ... , a_n)№0, 0. . .0). Частным случаем этой теоремы является Вейля критерий для равномерного распределения по модулю 1 последовательности действительных чисел. Из критерия Вейля следует т е о р е м а К р о н е к е р а: пусть q₁, q₂, ... , q_n, 1 - действительные числа, линейно независимые над полем рациональных чисел, a_l, a₂, ... , a_n - произвольные действительные числа и N,e - положительные числа; тогда существуют целые ти p₁, р ₂,... , р _n такие, что

для всех i=l, 2, ... , п. Иначе говоря, последовательность mq=(mq₁, mq₂ ... , тq _п), m=1,2, ... , равномерно распределена по модулю 1.

Лит.; [1] К а с с е л с Д ж. В. С., Введение в теорию диофантовых приближений, пер. с англ., М., 1961.

С. А. Степанов.