ПУАНКАРЕ СФЕРА

- сфера в пространстве R³ с отождествленными диаметрально противоположными точками. П. с. диффеоморфна проективной плоскости RP²; она была введена А. Пуанкаре (Н. Poincare, см. [1]) для исследования поведения на бесконечности фазовых траекторий двумерной автономной системы

(1)

в случае, когда Ри Q- многочлены. П. с. обычно изображают так, чтобы она касалась плоскости ( х, у);при проектировании из центра П. с. взаимно однозначно отображается на RP², причем паре диаметрально противоположных точек экватора отвечает бесконечно удаленная точка. Соответственно, фазовые траектории системы (1) отображаются на кривые на сфере.

Эквивалентный метод исследования системы (1) - применение преобразований Пуанкаре:

Первое (соответственно второе) из них пригодно вне сектора, содержащего ось у(ось х). Напр., преобразование а) приводит систему (1) к виду

(1')

где dt=zⁿdtи n - наибольшая из степеней Р, Q;особые точки системы (1') наз. бесконечно удаленными особыми точками системы (1). Если многочлены Р, Q взаимно просты, то многочлены Р*, Q* также взаимно просты и система (1) имеет конечное число бесконечно удаленных особых точек.

Лит.:[1] Пуанкаре А., О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, пер. с франц., М., 1947; [2] Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г., Качественная теория динамических систем второго порядка, М., 1986; [3] Лефшец С., Геометрическая теория дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1961.

М. В. Федорюк.