ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ

двумерное проективное пространство,- инцидентностная структура , где элементы множества наз. точкам и, элементы множества - прямыми, а I - отношение инцидентности. Инцидентностная структура удовлетворяет следующим аксиомам:

1) для любых двух различных точек ри qсуществует единственная прямая Lтакая, что pIL и qIL;

2) для любых двух различных прямых Lи Мсуществует единственная точка ртакая, что pIL и рIМ;

3) существуют четыре точки, никакие три иа к-рых не инцидентны одной прямой.

Напр., пучок П прямых и плоскостей трехмерного аффинного пространства, проходящих через точку О, является П. п., если в качестве проективной точки считать прямую пучка П, а в качестве проективной прямой - плоскость из П. В этой интерпретации получают прозрачный геометрич. смысл однородные координаты точки П. п. над полем как координаты какого-либо вектора прямой, изображающей эту точку (см. Проективная геометрия, Проективные координаты), Другим примером является П. п., состоящая из семи точек A_i, i=l, . . ., 7, и семи прямых {A₁, А ₂, A₄}, {A₂, А ₃, А ₅}, {А ₃, A₄, А ₆},{A₄, А ₅, А ₇), {А ₅, A₆, А ₁}, {А ₆, A₇, A₂}, {A₇, A₁, A₃} (рис. 1),- представитель класса конечных проективных плоскостей. П. п. Р(2, п).наз. конечной проективной плоскостью порядка п, если отношение инцидентности удовлетворяет еще одной аксиоме:

4) существует прямая, инцидентная ровно n+1 точке.

В Р(2, п).каждая точка (прямая) инцидентна n+1 прямой (точке), а число точек плоскости равно числу прямых и равно n²+n+1.

Остается невыясненным (1983) вопрос, для каких значений псуществует П. п. Р(2, п). Доказано существование конечной П. п., порядок к-рой есть степень простого числа (см. [4]). Доказано также (см. [5]) отсутствие П. п. Р(2, п).для широкого класса чисел: если псравнимо с 1 или 2 по модулю 4 и если в разложении этого числа на простые множители встречается в нечетной степени хотя бы одно простое число, сравнимое с 3 по модулю 4, то Р(2, п).не существует; таковы, напр., n=6, 14, 21, 22, .... Вопрос относительно n=10, 12, 15, 18, ... остается открытым. Важной задачей теории конечных П. п. является изучение подплоскостей заданной плоскости P(2, п). Так, если Р(2, т).является собственной подплоскостью конечной П. п. Р(2, п), то или m²=n (см. [5]). Специфическим для П. п. является понятие двойственности. Две П. п. наэ. двойственными, или дуальными, если между точками (прямыми) одной плоскости и прямыми (точками) другой можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее инцидентность. Нек-рые П. п. (напр., П. п. над полем k).допускают двойственное отображение на себя, к-рое наз. корреляцией, а П. п., допускающие корреляцию, наз. автодуальными. Для П. п. имеет место т. н. малый принцип двойственности: если верно нек-рое предложение о точках и прямых П. п., сформулированное только в терминах инцидентности между ними, то будет верно предложение , двойственное , т. е. предложение, к-рое получается из заменой слова "точка" на слово "прямая" и наоборот. Изоморфное отображение П. п. на себя наз. коллинеацией. Коллинеация конечной П. п. Р(2, n) является подстановкой множества точек и подстановкой множества прямых, причем эти подстановки подобны. Конечная П. п. наз. дезарговой, если она имеет группу коллинеаций, дважды транзитивную на ее точках. Группа коллинеаций дезарговой П. п. PG(2, p^h).имеет порядок

Группа коллинеаций недезарговой П. п. Р(2, п).имеет порядок, не превосходящий

где . Порядки групп коллинеаций известных недезарговых П. п. но превосходят порядков групп коллинеаций дезарговых плоскостей того же порядка. На рассмотрении 53 типов множеств Т(G) = {(x, X)|G является ( х, Х)-транзитивной}, определенных для полной группы коллинеаций G, основана классификация Ленца - Бартолоцци П. ц. Одним из основных путей изучения П. п. является введение в ней координат и тернарной операции. Каждому возможному типу П. п. классификации Ленца - Бартолоцци соответствует система алгебраич. законов, к-рой должно удовлетворять натуральное тело П. п., определенное через тернарную операцию. Напр., П. п. является дезарговой (папповой) тогда и только тогда, когда во всех ее натуральных телах выполняется ассоциативный (коммутативный) закон. Де-заргоиа конечная П. п. Р(2, п).является папповой.

Особенность дезарговой П. н. PG(2, п).в том, что она обладает коллинеацией порядка n²+n+1, циклической на точках и прямых. Этот результат дает возможность представить П. п. PG(2, п).в виде цишщч. таблицы. Такое представление PG(2, п).заключается в том, что точки плоскости, занумерованные натуральными числами от 1 до n²+n+1, располагаются в прямоугольной таблице из n+1 строки и n²+n+1 столбца таким образом, что каждый столбец, означающий прямую со всеми на ней точками, получается прибавлением к каждому элементу предыдущего столбца единицы по модулю п ²+п+1. Напр., представление плоскости Р (2, 2) имеет вид

Плоскости Р(2, n), где , единственны с точностью до изоморфизма - это дезарговы плоскости или плоскости Галуа (см. [6]), а уже для n=9 известны четыре неизоморфные плоскости (см. [7]).

Если к аксиомам П. п. и предложению Дезарга присоединить аксиомы порядка (к-рыми описывается разделенность двух пар точек, лежащих на одной прямой: напр., на рис. 2 пара С, D разделяет пару А, В, а пара А, С не разделяет пару В, D).и аксиому непрерывности, то полученная П. п. оказывается изоморфной действительной аффинной плоскости, пополненной несобственными элементами: к каждой прямой присоединяется несобственная (бесконечно удаленная) точка, к параллельным прямым - одна я та же, а к непараллельным - разные, причем все несобственные точки лежат на одной несобственной прямой.

П. п. наз. топологической, если множества ее точек и прямых являются топология, пространствами, причем отношение инцидентности является непрерывным. В топология, плоскости тернарная операция непрерывна по всем своим аргументам. С топологич. точки зрения множество точек действительной П. п. (равно как и множество прямых) представляет собой замкнутое неориентируемое многообразие, эйлерова характеристика к-рого равна 1.

Лит.:[1] Кокстер X., Действительная проективная плоскость, пер. с англ., М., 1959; [2] Бэр Р., Линейная алгебра и проективная геометрия, пер. с англ., М., 1955; L3] Скорняков Л. А., "Успехи матем. наук", 1951, т. 6, в. 6, с. 112-54; [4] Картеси Ф., Введение в конечные геометрии, пер. е англ., М., 1980; [5] Холл М., Теория групп, пер. с англ., М., 1962, гл. 20; [6] Dеmbоwski P., Finite geometries, В. -N.Y., 1968; [7] Room T. G., Кirkpatrick P. В., Miniquaternion geometry, Camb., 1971.

В. В. Афанасьев.