ПРИМАРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ

представление идеала I кольца R(или подмодуля Nмодуля М).в виде пересечения примерных идеалов (примерных подмодулей). П. р. обобщает разложение целого числа в произведение степеней различных простых чисел. Существование П. р. в кольце многочленов доказал Э. Ласкер [1], в произвольном коммутативном нётеровом кольце -0. Нётер [2]. Пусть R - коммутативное нётерово кольцо. П. р. наз. неприводимым, если для любого j=1, ... , пи радикалы Р ₁, ... , Р _n

идеалов Q₁, ... , Q_n попарно различны (радикалом примерного идеала Qназ. такой единственный простой идеал , что для нек-рого натурального числа п). Совокупность простых идеалов { Р ₁, ... , Р _п}определена однозначно идеалом I (первая теорема единственности П. р.), минимальные по включению элементы этой совокупности наз. изолированными простыми идеалами идеала I, остальные - вложенными простыми идеалами, причем примерные идеалы, соответствующие изолированным простым идеалам, также однозначно определены идеалом I (вторая теорема единственности П. р., см. [3]). Изолированным простым идеалам идеала I кольца многочленов над полем соответствуют неприводимые компоненты аффинного многообразия корней идеала I. Имеются различные некоммутативные обобщения понятия

П. р. Аксиоматизация П. р. привела к развитию аддитивной теории идеалов.

Лит.:[1] Laskеr Е., "Math. Ann.", 1905, Bd 60, S. 20- 116; [2] Nосthеr Е., "Math. Ann.", 1921, Bd 83, S. 24-C6; [3] Атья М., Макдональд И., Введение в коммутативную алгебру, пер. с англ., М., 1972; [4] 3ариоский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. о англ., т. 1-2, М., 1963; [5] Бур баки Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971. В. Т. Марков.