- ПОРЯДКА СООТНОШЕНИЕ
, сравнение функций, О - о-с оотношения, асимптотические соотношения,- понятие, возникающее при изучении поведения одной функции относительно другой в окрестности неж-рой точки (быть может, бесконечной).
Пусть x0- предельная точка множества Е. Если для функций f(x).и g(x).существуют такие постоянные с>0 и d>0, что
при |x-x0|<d, 
, то говорят, что f является ограниченной по сравнению с gфункцией в нек-рой окрестности точки х 0, и пишут 
(читается: " f(x) есть Обольшое от g(x)");
. означает, что рассматриваемое свойство имеет место лишь в нек-рой окрестности точки х 0. Естественным образом это определение переносится на случай 
Если функции f(x) и g(x).такие, что f=O(g).и g=O(f).при
, то они наз. функциями одного порядка при 
. Напр., если функции a(x), b(х).таковы, что 
при 
и существует предел
то они одного порядка при
.
Две функции f(x).и g(x).наз. эквивалентными (асимптотически равными) при
и пишут f~g, если в нек-рой окрестности точки х 0, кроме, быть может, самой точки х 0, определена такая функция j(х), что
(*)
Условие эквивалентности двух функций симметрично, т. е. если f~g, то и g~f при
, и транзитивно, т. е. если f~g и g~h, то f~h при 
. Если в нек-рой окрестности точки x0 при 
справедливы неравенства 
, то условие (*) эквивалентно любому из следующих
Если a(x).e(x)f(x), где
, то говорят, что ее является бесконечно малой функцией по сравнению с функцией f, и пишут a= о(f) при 
(читается: "а есть о малое от f"). Если 
при 
, то a=о(f), когда . В случае, если f является бесконечно малой 
при 
, то говорят, что функция a=о(f) при 
является бесконечно малой более высокого порядка, чем f. Если же g(x).и [j(x)]k - величины одного порядка, то говорят, что gявляется величиной порядка kотносительно f. Все формулы указанного выше вида наз. асимптотическими оценками, они наиболее интересны для бесконечно малых и бесконечно больших функций.
Примеры:
,
- любые положительные числа);
.
Некоторые свойства символов ои О:
если 0<x<x0 и f=O(g), то
Формулы, содержащие о-, О-символы, читаются только слева направо, это не исключает того, что отдельные формулы оказываются справедливыми и при чтении справа налево. Символы ои О для функций комплексного переменного и для функций многих переменных вводятся аналогично тому, как они были определены выше для функций одного действительного переменного.
М. И. Шабунин.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
