ПОЛУЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО

проективное n-пространство, в к-ром метрика определяется заданным абсолютом, состоящим из совокупности мнимого конуса 2-го порядка Q₀ с (n-m₀-1 )-плоской вершиной Т _а,( п-т ₀-2)-мнимого конуса Q_l с (n- т ₁-1)-плоской вершиной Т ₁ в (n-m₀-1 )-плоскости Т _а, (n-m₁-2)-мнимого конуса Q₂ с (n-m₂-1 )-плоской вершиной Т ₂ в ( п - т ₁ -1)-плоскости T₁ и т. д. до ( п-m_r-1-2)-мнимого конуса Q_r-1 с ( п-m_r-1-2)-плоской вершиной T_r-1 и невырожденной мнимой (n-m_r-1-2 )-квадрикой Q_r в (n-m_r-1-1 )-плоскости

.

Индексы конусов Q_k, k=0, 1, ..., r-1 равны: l₀=m₀+l; l_a=m₀-m_a-1, 0<a<r; l_r=n-m_r-1. П. п. обозначается

В случае, когда конус Q₀ является парой слившихся плоскостей, совпадающих с плоскостью Т ₀ (при m₀=0), пространство с несобственной плоскостью T₀ наз. полуевклидовым пространством

Расстояние между точками Xи Yопределяется в зависимости от расположения прямой XY относительно плоскостей Т ₀, T₁, ... , Т _r-1. Если, в частности, прямая XY не пересекает плоскость Т ₀, то расстояние между точками Xи Yопределяется с помощью скалярного произведения аналогично определению расстояния в квазиэллиптическом пространстве. Если же прямая X Y пересекает плоскость Т ₀, но не пересекает плоскость T₁ или пересекает плоскость Т _a-1, но не пересекает плоскость Т _а, расстояние между точками определяется с помощью скалярного квадрата разности соответствующих векторов точек Xи Y.

В зависимости от расположения относительно плоскостей абсолюта в П. п. различаются четыре типа прямых.

Углы между плоскостями в П. п. определяются аналогично определению углов между плоскостями в квази-эллиптич. пространстве, т. е. с использованием расстояний в двойственном пространстве.

Проективная метрика П. п. является метрикой наиболее общего вида. Частным случаем метрики П. п. является, напр., метрика квазиэллиптич. пространства. В частности, 2-плоскость совпадает с евклидовой, - с неевклидовой, 3-пространство - с квазиэллиптическим, - с евклидовыми 3-пространствами, 3-пространство является галилеевым, - флаговым пространством и т. д. 3-пространство соответствует по принципу двойственности галилееву 3-пространству Г ₃ и наз. когалилеевым пространством. (Абсолют когалилеева пространства состоит из пары мнимых плоскостей (конус Q₀).и точки Т ₁ на прямой Т ₀ пересечения этих плоскостей.)

Движениями П. п. являются его коллинеации, переводящие абсолют в себя. В случае m _а=п-m_r__a-1-1, l_a=l_r-a П. п. является двойственным самому себе, в нем определяются кодвижения, определение к-рых аналогично определению кодвижений квазиэллиптич. пространства.

Движения, движения и кодвижения образуют группы, являющиеся группами Ли. Движения (как и кодвижения) описываются ортогональными операторами.

П. п. являются полуримановыми пространствами.

Лит.:[1] Розенфельд Б. А., Неевклидовы пространства, М., 1969. Л. А. Сидоров.