- БЕЙЕСОВСКИЙ ПОДХОД
к статистическим задачам - подход, основанный на предположении, что всякому параметру в статистич. проблеме принятия решения приписано нек-рое распределение вероятностей. Всякая общая статистич. проблема принятия решения определяется следующими элементами: пространством
выборок
, пространством
значений неизвестного параметра
, семейством распределений вероятностей
на
пространством решений
п функцией
, характеризующей потери от принятия решения d, когда истинное значение параметра есть
. Цель же проблемы принятия решения состоит в отыскании в определенном смысле наилучшего правила (решающей функции)
, сопоставляющей каждому результату наблюдения .
решение
. При Б. п., когда считается, что неизвестный параметр 0 является случайной величиной с заданным (априорным) распределением
, наилучшая решающая функция (бейесовская решающая функция)
определяется как функция, на к-рой достигаются минимальные полные потери
, где
а
Таким образом,
При отыскании бейесовской решающей функции
полезным оказывается следующее замечание. Пусть
где
и
- некоторые s-конечные меры. Тогда, предполагая возможным смену порядков интегрирования, находим
Отсюда видно, что для данного
есть то значение
, на к-ром достигается
или, что эквивалентно,
где
Но по Бейеса формуле
Тем самым для данного
есть то значение
, на к-ром достигают минимума условные средние потери
.
Тогда
откуда следует, что
достигается на функции
Преимущество Б. п. состоит в том, что полные потери
оказываются числом (в отличие от потерь
, зависящих от неизвестного параметра
), и, следовательно, заведомо существуют, если и не оптимальные, то, по крайней мере,
-оптимальные (
) решающие функции
, для к-рых
Недостатком Б. п. является необходимость постулировать как существование априорного распределения для неизвестного параметра, так и знание его формы (в определенной степени последнее обстоятельство преодолевается в рамках бейесовского подхода эмпирического).
Лит.:[1] Вальд А., Статистические решающие функции, в сб.: Позиционные игры, М., 1967, с. 300-522; [2] Де Гроот М., Оптимальные статистические решения, пер. с англ., М., 1974.
А. Н. Ширяев.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.