- ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ИНДЕКС
- гомологический инвариант, характеризующий алгебраическое (т. е. учитывающее ориентацию) число точек пересечения двух подмножеств дополнительных размерностей в евклидовом пространстве или ориентированном многообразии (находящихся в общем положении). В случае неориентируемого многообразия в качестве кольца коэффициентов R для гомологии рассматривается
.
Пусть
- такие пары подмножеств евклидова пространства
, что
, и пусть
- отображение, для к-рого d(x,у)=х-у. Индексом пересечения xoh классов гомологии
,
наз. элемент
. Здесь d* - индуцированное отображение гомологии, а
- внешнее гомологич. произведение элементов xи h.
П. и.
зависит лишь от тех частей классов x и т), носители к-рых попадают в произвольно малую окрестность Vзамыкания множества
. В частности,
, если
. Кроме того, если V
,
при
, то определены соответствующие каждому открытому множеству Vi локальные П. и. x и h), сумма к-рых совпадает с
. Инвариант
не меняется при гомеоморфизмах
. Вместе с предшествующим свойством локальности это позволяет определить П. и.
для компактных подмножеств ориентированного многообразия. Имеет место следующее соотношение антикоммутативности:
Если Xи Y- векторные подпространства общего положения,
а x и h - образующие
, то
- образующая
. Так как выбор указанных образующих равносилен выбору ориентации в соответствующих евклидовых пространствах, это дает возможность определить П. и.
двух цепей дополнительных размерностей (в том числе сингулярных), для к-рых
(|с| - носитель, а дс - граница цепи с). При этом
для определяемых цепями с, с' классов гомологии
,
П. и. применяется для описания нек-рых соотношений двойственности в многообразиях.
Лит.:[1] Дольд А., Лекции по алгебраической топологии, пер. с англ., М., 1076. Е. Г. Скляренко.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.