БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИИ РАЗЛОЖЕНИЕ

- представление безгранично делимых распределений в виде композиции (свертки) нек-рых распределений вероятностей. Распределения, участвующие в Б. д. р. р., наз. компонентами разложения.

Нек-рые Б. д. р. р. могут иметь компоненты, к-рые не являются безгранично делимыми распределениями (см. [1]). Важная задача теории Б. д. р. р.-описание класса безгранично делимых распределений, имеющих только безгранично делимые компоненты. Представители класса : нормальное распределение, Пуассона распределение, их композиция (см. Леей - Крамера теорема).

Висследованиях по проблеме описания класса важную роль играет введенный Ю. В. Линником [2] класс безгранично делимых распределений, у к-рых функция в каноническом представлении Леви - Хинчина является функцией скачков с точками роста среди где и числа - натуральные, отличные от 1. Если безгранично делимое распределение таково, что - то для его принадлежности к необходимо, чтобы оно принадлежало к . Достаточным это условие не является, но известно, что распределение класса принадлежит , если

при нек-ром и при .

Если , то принадлежность к не является необходимым условием принадлежности к . Так, напр., к принадлежат все безгранично делимые распределения, у к-рых функция постоянна при

Простое достаточное условие того, чтобы безгранично делимое распределение не принадлежало к , состоит в следующем: на интервале где выполняется неравенство . Из этого условия вытекает, что все устойчивые распределения, кроме нормального и единичного, а также гамма-распределение и -распределение, не принадлежат к

Класс является плотным в классе всех безгранично делимых распределений в топологии слабой сходимости, всякое безгранично делимое распределение представляется в виде композиции конечного или счетного множества распределений из I₀.

Лит.:[1] Xинчин А. Я., "Бюлл. МГУ, секц. А", 1937, т.1, в. 1, с. 6-17; [2] Линник Ю. В., "Теория вероятн. и ее примен.", 1958, т. 3, с. 3-40; [3] его же, Разложения вероятностных законов, Л., 1960; [4] Линник Ю. В., Островский И. В., Разложения случайных величин и векторов, М., 1972; [5] Ramachandran В., Advanced theory of characteristic functions, Calcutta, 1967; [6] Lukas E., Characteristic functions, L., 1970; [7] Лившиц Л. 3., Островский И. В., Чистяков Г. П., в сб.: Итоги науки и техники. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика, [т. 12], М., 1975, с. 5-42.

И. В. Островский.