- ОТРАЖЕНИЯ ПРИНЦИП
- обобщение симметрии принципа для гармонич. функций на гармонич. функции от произвольного числа независимых переменных. Формулировки О. п. таковы.
1) Пусть G- область k-мерного евклидова пространства
, ограниченная жордановой поверхностью Г (в частности, гладкой или кусочно гладкой поверхностью Г без самопересечений), в состав к-рой входит (k-1)-мерная подобласть 
- мерной гиперплоскости L. Если функция 
гармонична в G, непрерывна на 
и всюду на s равна нулю, то 
продолжается как гармонич. функция сквозь а в область G*, симметричную с Gотносительно L, с помощью равенства
где точки
и 
симметричны относительно L.
2) Пусть G - область k-меряого евклидова пространства
, ограниченная жордановой поверхностью Г, в состав к-рой входит (k -1)-мерная подобласть s (k-1)-мерной сферы S нек-рого радиуса R>0 с центром в нек-рой точке 
. Если U( х 1,...,х k).гармонична в G, непрерывна на 
и всюду на s равна нулю, то 
продолжается как гармонич. функция сквозь sв область G*, симметричную с Gотносительно S (т. е, полученную из G посредством преобразования обратных радиусов - инверсии - относительно сферы S). Это продолжение осуществляется посредством взятого с обратным знаком Кельвина преобразования функции Uотносительно сферы 2, именно:
где
При преобразовании обратных радиусов относительно упомянутой сферы 2 точка
переходит в точку 
в соответствии с равенствами
так что если
, то Мпринадлежит области G(где Uзадана), и если 
, то 
Лит.:[1] Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964, с. 272. Е. П. Долженко.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
