ОТНОСИТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА КОРНЕЙ

ОТНОСИТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА КОРНЕЙ

связной редуктивной алгебраической группы G, определенной над полем k,- система ненулевых весов присоединенного представления максимального k-расщепимого тора Sгруппы G в алгебре Ли g этой группы. Сами веса наз. корнями G относительно S. О. с. к. , рассматриваемая как подмножество своей линейной оболочки L в пространстве , где X (S) - группа рациональных характеров тора S, является корневой системой. Пусть N(S) - нормализатор, a Z(S).- централизатор Sв G. Тогда Z(S).является связной компонентой единицы группы N(S);конечная группа наз. группой Вейля группы G над k, или относительной группой Вейля (о. г. В.). Присоединенное представление N(S) в g определяет линейное представление в L. Это представление является точным и его образ есть Вейля группа системы корней , что позволяет отождествить эти две группы. Ввиду сопряженности над kмаксимальных k-расщепимых торов в G О. с. к. и о. г. В. не зависят, с точностью до изоморфизма, от выбора тора Sи часто обозначаются просто и . В случае, когда G расщепима над k, О. с. к. и о. г. В. совпадают соответственно с обычной (абсолютной) системой корней и группой Вейля группы G. Пусть g а - весовое относительно Sподпространство в , отвечающее корню . Если G расщепима над k, то для любого а и - приведенная система корней; в общем случае это не так: может быть неприведенной, а может быть больше 1. О. с. к. неприводима, если G проста над k.

О. с. к. играет важную роль в описании структуры и в классификации полупростых алгебраич. групп над k. Пусть G - полупроста и Т - максимальный тор, определенный над kи содержащий S. Пусть X(S).и X(Т) - группы рациональных характеров торов S и Т с фиксированными согласованными отношениями порядка, D -- соответствующая система простых корней группы G относительно и D0- подсистема в D, состоящая из характеров, тривиальных на S. Пусть также Dk-- система простых корней в О. с. к. , определенная выбранным в X(S).отношением порядка; она состоит из сужений на Sхарактеров системы D. Группа Галуа естественно действует на Д, и набор данных {D, D0, действие Г на D} наз. k- индексом полупростой группы G. Роль k-индекса объясняется следующей теоремой: всякая полупростая группа над kоднозначно с точностью до k-изоморфизма определяется своим классом относительно изоморфизма над ks, своим k-индексом и своим анизотропным ядром. О. с. к. полностью определяется системой Dk и набором таких натуральных чисел (равных 1 или 2), что , но . В свою очередь, Dk и п a, , могут быть восстановлены по k-индексу. В частности, два элемента из имеют одно и то же ограничение на Sтогда и только тогда, когда они лежат в одной орбите группы Г; это определяет-биекцию между Dk и множеством орбит группы Г в

Если - соответствующая орбита и D(g) - любая связная компонента в , не все вершины к-poй лежат вD0, то ng есть сумма коэффициентов при корнях в разложении старшего корня системы D(g) по простым корням.

Если , то это О. с. к. естественно отождествляется с системой корней, а о. г. В.- с группой Вейля соответствующего симметрич. пространства.

Лит.:[1] Титс Ж., "Математика", 1968, т. 12, Я" 2, с. ПО- 143; [2] Борель А., Титс Ж., там же, 1967, т. 11, № 1, с. 43-111; № 2, с. 3-31; [3] Tits J., "Ргос. of Symposia in pure math.", 1966, v. ft, p. 33-62 (AMS). В. <Л. <Попов.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Полезное


Смотреть что такое "ОТНОСИТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА КОРНЕЙ" в других словарях:

  • МАКСИМАЛЬНЫЙ ТОР — 1) М. т. линейной алгебраической группы G алгебраическая подгруппа в G, являющаяся алгебраическим тором и не содержащаяся ни в какой большей подгруппе такого типа. Пусть, далее, группа Gсвязна. Объединение всех М. т. группы Gсовпадает с… …   Математическая энциклопедия

  • показатель — 3.7 показатель (indicator): Мера измерения, дающая качественную или количественную оценку определенных атрибутов, выведенную на основе аналитической модели, разработанной для определенных информационных потребностей. Источник …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • Вредители и болезни орхидных закрытого грунта — К вредителям растений относящихся к семейству орхидных можно отнести более 32 видов, принадлежащими к 4 классам, 7 отрядам. Также известно более 90 грибов, бактерий и вирусов вызывающих болезни орхидных: пятнистость листьев, гниль корней, молодых …   Википедия

  • РАСТЕНИЕ И СРЕДА —         Жизнь растения, как и всякого другого живого организма, представляет сложную совокупность взаимосвязанных процессов; наиболее существенный из них, как известно, обмен веществ с окружающей средой. Среда является тем источником, откуда… …   Биологическая энциклопедия

  • Allium test — Содержание 1 История метода «Allium Test», преимущества перед другими методами и перспективы …   Википедия

  • Эсперанто — Эсперанто …   Википедия

  • Крупномер — Файл:Sxema posadki.jpg Схема посадки крупномеров с комом. Файл:Sxema okapivania.jpg Схема окапывания и формирования кома крупномерных деревьев Крупномеры  взрослые деревья с хорошо развитой системой ветвей и равномерным их распределением, имеющие …   Википедия

  • Поро́ки се́рдца приобретённые — Пороки сердца приобретенные органические изменения клапанов или дефекты перегородок сердца, возникающие вследствие заболеваний или травм. Связанные с пороками сердца нарушения внутрисердечной гемодинамики формируют патологические состояния,… …   Медицинская энциклопедия

  • Крупномеры — Крупномеры  взрослые деревья (от трёх до пятнадцати метров в высоту), используемые для посадок с хозяйственной и декоративной целью. Деревья  незаменимый элемент озеленения. Растения с развитой кроной считаются крупномерами, даже если… …   Википедия

  • Маркс — Биография. Учение Маркса. Философский материализм. Диалектика. Материалистическое понимание истории. Классовая борьба. Экономическое учение Маркса. Стоимость. Прибавочная стоимость. Социализм. Тактика классовой борьбы пролетариата …   Литературная энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»