- НОРМЕННЫИ ВЫЧЕТ
символ нор мен-ног о вычета, символ Гильберта,- функция, сопоставляющая упорядоченной паре элементов х, у мультипликативной группы
нек-рого локального поля К элемент
являющийся корнем из единицы. Эта функция может быть определена следующим образом. Пусть
- нек-рый первообразный корень степени пиз единицы. Максимальное абе-лево расширение Lполя Kс группой Галуа
показателя пполучается присоединением к Ккорней
для всех
. С другой стороны, существует кано-нич. изоморфизм (основной изоморфизм локальной полей классов теории)
Норменный вычет для пары х, у определяется из соотношения
В частном случае, для квадратичных полей, понятие символа Н. в. было введено Д. Гильбертом (D. Hilbert). Существует явное и использующее только локчльную теорию полей классов определение Н. в. [4]. Свойствасимвола
:
1)билинейность:
2) кососимметричность:
3) невырожденность: из
для всех
следует, что
из
для всех
следует, что
;
4) если
5) если
- автоморфизм поля К, то
6)пусть-
конечное расширение поля
и
.
Тогда
где в левой части формулы символ Н. в. рассматривается для поля
, в правой части - для ноля
, а
- норменное отображение из K' в K.
7) из
следует, что уявляется нормой из расширения
(это свойство дало название символу).
Функция (x, у)индуцирует невырожденное билинейное спаривание
где
- группа корней из единицы, порожденная
. Пусть задано отображение
в некоторую абелеву группу А, удовлетворяющее условиям 1), 4) и условию непрерывности: для любого
множество
замкнуто в
. Символ Н. в. обладает следующим свойством универсальности [3]: существует гомоморфизм
такой, что для любых
Это свойство служит основой аксиоматич. определения Н. в.
Если F- глобальное поле,a К- пополнение поля Fотносительно нек-рой точки v, то символом Н. в. называют также функцию
определенную на
, получающуюся композицией (локального) символа Н. в.
с естественным вложением .
Иногда символом Н. в. наз. автоморфизм q(x) максимального абелева расширения поля К, соответствующий элементу
в силу локальной теории полей классов.
Лит.:[1] Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1969; [2] Кох X., Теория Галуа р-расширений, пер. с нем., М., 1973; [3] Милнор Дж., Введение в алгебраическую К-теорию, пер. с англ., М., 1974; [4] Шафаревич И. Р., "Матем. сб.", 1950, т. 26, №1, с. 113-46.
Д. В. Кузьмин.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.