НЁТЕР ПРОБЛЕМА

- вопрос о рациональности поля инвариантов конечной группы, действующей автоморфизмами поля рациональных функций. Подробнее, пусть - поле рациональных функций от п переменных с коэффициентами в поле рациональных чисел , т. е. К- чисто трансцендентное расширение поля степени трансцендентности п. И пусть G- конечная группа, действующая автоморфизмами поля Кпосредством перестановок переменных . Будет ли подполе К ^G в К, состоящее из всех неподвижных относительно Gэлементов, само полем рациональных функций от п(других) переменных с коэффициентами в ? Эта проблема была поставлена Э. Нётер 11] в связи с рассмотрением Галуа теории обратной задачи. В случае положительного решения Н. п. можно было бы построить расширение Галуа поляс заданной конечной группой Галуа G(см. [5]). Н. п. также тесно связана с Люрота проблемой.

Н. п. в ебщем случае решается отрицательно. Первый пример нерационального поля К ^G был построен в [2], причем в этом примере группа Gпорождена циклич. перестановкой переменных. В [3] было установлено, что необходимое условие рациональности поля К ^G, найденное в [2], является и достаточным. Вопрос о рациональности поля К ^G в случае абелевой группы Gтесно связан с теорией алгебраических торов (см. [4]).

Часто иод Н. п. понимают более общую проблему, получающуюся заменой в оригинальной Н. п. поля произвольным полем k. Эта проблема решена положительно, напр., в случае, когда калгебраически замкнуто, a Gабелева.

Лит.:[1]Noether E., "Math. Ann.", 1917/1918, Bd 78, S. 221-2S; [2] Swan R. G., "Invent, math.", 1969, v. 7, fasc. 2, p. 148; [3] Воскресенский В. E., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1971, т. 35, с. 1037; [4] его же, Алгебраические торы, М., 1977; [5] Чеботарев Н. Г., Теория Галуа, М.- Л., 1936, с. 18-32 и 90-94.

В. Л. Попов.