- НЕПРЕРЫВНЫЕ АНАЛОГИ ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ
- непрерывные модели, позволяющие исследовать вопросы существования решений нелинейных уравнений, проводить с помощью развитого аппарата непрерывного анализа предварительные исследования сходимости и оптимальности итерационных методов, получать новые классы итерационных методов.
Можно установить соответствие между методами решения стационарных задач путем установления (см. Установления метод )и нек-рыми итерационными методами (см. [1], [2]). Напр., для решения линейного уравнения
с положительно определенным самосопряженным оператором Аизвестны сходящиеся при достаточно малых
двучленные итерационные методы вида
Если ввести непрерывное время t, а величины
рассматривать как значение нек-рой функции
при
, где
если положить
где непрерывная функция
при
, то при переходе к пределу в (2) при
получают Н. а. и. м. (2):
И если
при
стремится к
- решению уравнения (1).
Двучленным градиентным итерационным методам минимизации функции F(u):
аналогичным образом можно сопоставить Н. а. и. м. вида
Здесь функция
влияет лишь на параметризацию линии наискорейшего спуска. Для решения уравнения (1) можно взять
тогда формулы (4) примут вид (2), а уравнение (5) - вид (3). Трехчленные итерационные методы:
с помощью преобразований можно записать в виде
где величины
определяются (неоднозначно) по параметрам
метода (6). Переход в (7) к пределу при
приводит к Н. а. и. м. вида
Метод установления с использованием уравнения типа (8) носит название метода тяжелого шарика (см. [2]). Существуют итерационные методы, для к-рых Н. а. и. м. содержат дифференциальные операторы более высоких порядков (см. [3]).
Источником получения дифференциальных уравнений, играющих роль Н. а. и. м., может быть метод продолжения по параметру (см. [4], [5]). В этом методе для нахождения решения уравнения
строят уравнение
зависящее от параметра
и такое, что при
решение
известно:
, а при
решения уравнений (9), (10) совпадают. Напр., можно взять
Дифференцируя уравнение (10) по параметру и считая
, , получают дифференциальное уравнение для
; оно для случая (11) примет вид
Разбивая отрезок [0, 1] на пчастей точками
и применяя к уравнению (12) одну из формул численного интегрирования по точкам
(метод Эйлера, Рунге - Кутта и т. п.), получают рекуррентные соотношения между величинами
, к-рые используют для построения формул итерационного метода. Так, после применения метода Эйлера уравнение (12) заменится соотношениями
где
к-рые определяют следующий двуступенчатый итерационный метод, содержащий внутренний п внешний циклы итераций:
При
этот метод превращается в классич.
метод Ньютона. Н. а. и. м. Ньютона может быть получен и другим путем: в формуле (11) заменяется переменная
Тогда дифференциальное уравнение (12) принимает вид
Численное интегрирование уравнения (15) методом Эйлера по точкам tk приводит к итерационному методу
совпадающему при
с классич. методом Ньютона.
Н. а. и. м. решения краевых задач для дифференциальных уравнений математич. физики являются, как правило, смешанными задачами для уравнений с частными производными специального вида (напр., с быстро осциллирующими коэффициентами или с малыми коэффициентами при старших производных).
См. также ст. Замыкание вычислительного алгоритма.
Лит.:[1] Гавурин М. К., "Изв. ВУЗов. Математика", 1958, № 5(6), с. 18-31; [2] Бахвалов Н. С, Численные методы, 2 изд., т. 1, М., 1975; [3] Марчук Г. И., Лебедев В. И., Численные методы в теории переноса нейтронов, М., 1971; [4] Ортега Д., Рейнболдт В., Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными, пер. с англ., М., 1975; [5] Давиденко Д. Ф., "Ж. вычисл. матем. и иатем. физ.", 1975, т. 15, .№ 1, с. 30-47.
В. И. Лебедев.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.